🧮 三角计算
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1选择题
sin(α+β) 的展开式是（ ）
Asinαcosβ+cosαsinβ
Bsinαcosβ-cosαsinβ
Csinα+sinβ
Dsinαsinβ+cosαcosβ
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答案A．sinαcosβ+cosαsinβ
解析两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，记住"正余加余正"，中间是加号
2选择题
sin(α-β) 的展开式是（ ）
Asinαcosβ+cosαsinβ
Bsinα+sinβ
Csinαcosβ-cosαsinβ
Dcosαcosβ+sinαsinβ
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答案C．sinαcosβ-cosαsinβ
解析两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，和公式比只是把加号换成减号
3选择题
cos(α+β) 的展开式是（ ）
Acosαcosβ+sinαsinβ
Bcosαcosβ-sinαsinβ
Csinαsinβ-cosαcosβ
Dcosα+cosβ
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答案B．cosαcosβ-sinαsinβ
解析两角和的余弦公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，记住"余余减正正"，中间是减号
4选择题
cos(α-β) 的展开式是（ ）
Acosαcosβ-sinαsinβ
Bsinαcosβ+cosαsinβ
Ccosαsinβ+sinαcosβ
Dcosαcosβ+sinαsinβ
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答案D．cosαcosβ+sinαsinβ
解析两角差的余弦公式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，注意余弦的差角公式中间是加号，别和正弦搞混
5选择题
tan(α+β) 的公式是（ ）
A(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
B(tanα+tanβ)/(1+tanαtanβ)
C(tanα-tanβ)/(1-tanαtanβ)
Dtanα+tanβ
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答案A．(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
解析两角和的正切公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，分子加、分母减，符号正好相反
6选择题
tan(α-β) 的公式是（ ）
A(tanα-tanβ)/(1-tanαtanβ)
Btanα-tanβ
C(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
D(tanα+tanβ)/(1+tanαtanβ)
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答案C．(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
解析两角差的正切公式：tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)，分子减、分母加，符号也是反的
7选择题
下列等式中，错误的是（ ）
Asin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
Bcos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ
Ctan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
Dsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
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答案B．cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ
解析cos(α-β) 展开中间应该是加号，即 cosαcosβ+sinαsinβ，B 把符号写反了，所以 B 是错的
8选择题
sinαcosβ+cosαsinβ 等于（ ）
Asin(α-β)
Bcos(α+β)
Ccos(α-β)
Dsin(α+β)
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答案D．sin(α+β)
解析这是两角和正弦公式的右边倒着写，"正余加余正"拼起来就是 sin(α+β)
9选择题
cosαcosβ-sinαsinβ 等于（ ）
Acos(α+β)
Bcos(α-β)
Csin(α+β)
Dsin(α-β)
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答案A．cos(α+β)
解析这是两角和余弦公式的右边，"余余减正正"就是 cos(α+β)，注意中间是减号
10选择题
sinαcosβ-cosαsinβ 等于（ ）
Asin(α+β)
Bcos(α-β)
Csin(α-β)
Dtan(α-β)
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答案C．sin(α-β)
解析"正余减余正"就是 sin(α-β)，看到 sinαcosβ 开头就知道是正弦公式
11选择题
(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) 等于（ ）
Atan(α+β)
Btan(α-β)
Csin(α-β)
Dcos(α-β)
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答案B．tan(α-β)
解析这是两角差正切公式的右边，分子减分母加，对应 tan(α-β)
12选择题
cosαcosβ+sinαsinβ 等于（ ）
Asin(α+β)
Bsin(α-β)
Ccos(α+β)
Dcos(α-β)
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答案D．cos(α-β)
解析"余余加正正"就是 cos(α-β)，余弦的差角公式中间是加号，这点最容易记反
13选择题
sin75° 的值是（ ）
A(√6+√2)/4
B(√6-√2)/4
C(√6+√2)/2
D√3/2
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答案A．(√6+√2)/4
解析先把 75° 拆成 45°+30°，再套两角和正弦公式：sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4
14选择题
sin15° 的值是（ ）
A(√6+√2)/4
B(√6-√2)/2
C(√6-√2)/4
D1/2
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答案C．(√6-√2)/4
解析把 15° 拆成 45°-30°，套两角差正弦公式：sin45°cos30°-cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4
15选择题
cos15° 的值是（ ）
A(√6-√2)/4
B√3/2
C(√6+√2)/4
D√2/2
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答案C．(√6+√2)/4
解析把 15° 拆成 45°-30°，套两角差余弦公式：cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4
16选择题
cos75° 的值是（ ）
A(√6+√2)/4
B1/2
C(√6-√2)/2
D(√6-√2)/4
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答案D．(√6-√2)/4
解析把 75° 拆成 45°+30°，套两角和余弦公式：cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4
17选择题
tan15° 的值是（ ）
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答案A．2-√3
解析把 15° 拆成 45°-30°，tan15°=(tan45°-tan30°)/(1+tan45°tan30°)=(1-√3/3)/(1+√3/3)，化简得 2-√3
18选择题
tan75° 的值是（ ）
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答案B．2+√3
解析把 75° 拆成 45°+30°，tan75°=(tan45°+tan30°)/(1-tan45°tan30°)=(1+√3/3)/(1-√3/3)，化简得 2+√3
19选择题
sin105° 的值是（ ）
A(√6-√2)/4
B√2/2
C(√6+√2)/4
D1
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答案C．(√6+√2)/4
解析把 105° 拆成 60°+45°，sin105°=sin60°cos45°+cos60°sin45°=(√3/2)(√2/2)+(1/2)(√2/2)=(√6+√2)/4
20选择题
cos105° 的值是（ ）
A(√6-√2)/4
B-√2/2
C(√2-√6)/2
D(√2-√6)/4
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答案D．(√2-√6)/4
解析把 105° 拆成 60°+45°，cos105°=cos60°cos45°-sin60°sin45°=(1/2)(√2/2)-(√3/2)(√2/2)=(√2-√6)/4，是个负数
21选择题
sin(π/12) 的值是（ ）
A(√6-√2)/4
B(√6+√2)/4
C√3/2
D1/2
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答案A．(√6-√2)/4
解析π/12 就是 15°，拆成 45°-30° 用两角差正弦公式，结果是 (√6-√2)/4
22选择题
cos(π/12) 的值是（ ）
A(√6-√2)/4
B(√6+√2)/4
C√2/2
D√3/2
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答案B．(√6+√2)/4
解析π/12 就是 15°，拆成 45°-30° 用两角差余弦公式：cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√6+√2)/4
23选择题
sin(5π/12) 的值是（ ）
A(√6-√2)/4
B√3/2
C(√6+√2)/4
D√2/2
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答案C．(√6+√2)/4
解析5π/12 就是 75°，拆成 45°+30° 用两角和正弦公式，结果是 (√6+√2)/4
24选择题
tan(5π/12) 的值是（ ）
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答案D．2+√3
解析5π/12 就是 75°，拆成 45°+30° 用两角和正切公式，结果是 2+√3
25选择题
sin(-15°) 的值是（ ）
A(√2-√6)/4
B(√6-√2)/4
C(√6+√2)/4
D-(√6+√2)/4
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答案A．(√2-√6)/4
解析正弦是奇函数，sin(-15°)=-sin15°=-(√6-√2)/4=(√2-√6)/4
26选择题
cos(-15°) 的值是（ ）
A(√6-√2)/4
B(√6+√2)/4
C√3/2
D√2/2
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答案B．(√6+√2)/4
解析余弦是偶函数，cos(-15°)=cos15°=(√6+√2)/4
27选择题
用两角和公式求 sin75°=sin(45°+30°)，正确的展开是（ ）
Asin45°cos30°-cos45°sin30°
Bcos45°cos30°+sin45°sin30°
Csin45°cos30°+cos45°sin30°
Dsin45°sin30°+cos45°cos30°
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答案C．sin45°cos30°+cos45°sin30°
解析sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，"正余加余正"，所以是 sin45°cos30°+cos45°sin30°
28选择题
用两角差公式求 cos15°=cos(45°-30°)，正确的展开是（ ）
Acos45°cos30°-sin45°sin30°
Bsin45°cos30°+cos45°sin30°
Ccos45°sin30°-sin45°cos30°
Dcos45°cos30°+sin45°sin30°
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答案D．cos45°cos30°+sin45°sin30°
解析cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，"余余加正正"，所以是 cos45°cos30°+sin45°sin30°
29选择题
用两角差正切公式求 tan15°=tan(45°-30°)，正确的算式是（ ）
A(1-tan30°)/(1+tan30°)
B(1+tan30°)/(1-tan30°)
C(tan30°-1)/(1+tan30°)
D(1-tan30°)/(1-tan30°)
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答案A．(1-tan30°)/(1+tan30°)
解析tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)，tan45°=1，代入得 (1-tan30°)/(1+tan30°)
30选择题
用两角和公式求 sin105°=sin(60°+45°)，正确的展开是（ ）
Asin60°cos45°-cos60°sin45°
Bsin60°cos45°+cos60°sin45°
Ccos60°cos45°-sin60°sin45°
Dsin60°sin45°+cos60°cos45°
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答案B．sin60°cos45°+cos60°sin45°
解析sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，直接代入 α=60°、β=45° 就是 sin60°cos45°+cos60°sin45°
31选择题
sin20°cos25°+cos20°sin25° 的值是（ ）
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答案C．√2/2
解析这是 sin(20°+25°)=sin45° 的展开，倒着用公式拼回去，结果是 √2/2
32选择题
sin55°cos25°-cos55°sin25° 的值是（ ）
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答案D．1/2
解析这是 sin(55°-25°)=sin30° 的展开，拼回去就是 sin30°=1/2
33选择题
cos60°cos30°+sin60°sin30° 的值是（ ）
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答案A．√3/2
解析这是 cos(60°-30°)=cos30° 的展开，"余余加正正"拼回去，结果是 √3/2
34选择题
cos25°cos20°-sin25°sin20° 的值是（ ）
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答案B．√2/2
解析这是 cos(25°+20°)=cos45° 的展开，"余余减正正"拼回去，结果是 √2/2
35选择题
sin70°cos10°-cos70°sin10° 的值是（ ）
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答案C．√3/2
解析这是 sin(70°-10°)=sin60° 的展开，拼回去就是 sin60°=√3/2
36选择题
cos50°cos20°+sin50°sin20° 的值是（ ）
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答案D．√3/2
解析这是 cos(50°-20°)=cos30° 的展开，拼回去就是 cos30°=√3/2
37选择题
(tan20°+tan25°)/(1-tan20°tan25°) 的值是（ ）
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答案A．1
解析这是 tan(20°+25°)=tan45° 的展开，分子加分母减拼回去，结果是 tan45°=1
38选择题
(tan70°-tan25°)/(1+tan70°tan25°) 的值是（ ）
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答案B．1
解析这是 tan(70°-25°)=tan45° 的展开，分子减分母加拼回去，结果是 tan45°=1
39选择题
sin15°cos30°+cos15°sin30° 的值是（ ）
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答案C．√2/2
解析这是 sin(15°+30°)=sin45° 的展开，拼回去就是 sin45°=√2/2
40选择题
cos75°cos15°+sin75°sin15° 的值是（ ）
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答案C．1/2
解析这是 cos(75°-15°)=cos60° 的展开，"余余加正正"拼回去，结果是 cos60°=1/2
41选择题
sin43°cos17°+cos43°sin17° 的值是（ ）
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答案A．√3/2
解析这是 sin(43°+17°)=sin60° 的展开，拼回去就是 sin60°=√3/2
42选择题
(tan60°-tan15°)/(1+tan60°tan15°) 的值是（ ）
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答案B．1
解析这是 tan(60°-15°)=tan45° 的展开，拼回去就是 tan45°=1
43选择题
cos38°cos8°+sin38°sin8° 的值是（ ）
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答案C．√3/2
解析这是 cos(38°-8°)=cos30° 的展开，拼回去就是 cos30°=√3/2
44选择题
sin100°cos40°-cos100°sin40° 的值是（ ）
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答案D．√3/2
解析这是 sin(100°-40°)=sin60° 的展开，拼回去就是 sin60°=√3/2
45选择题
化简 sin(x+30°)cos30°-cos(x+30°)sin30° 的结果是（ ）
Asin x
Bcos x
Csin(x+60°)
Dcos(x-30°)
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答案A．sin x
解析把 (x+30°) 看成一个整体，这是 sin((x+30°)-30°)=sin x，逆用两角差正弦公式
46选择题
化简 cos(x-20°)cos20°+sin(x-20°)sin20° 的结果是（ ）
Asin x
Bcos x
Ccos(x-40°)
Dsin(x-40°)
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答案B．cos x
解析把 (x-20°) 看成一个整体，这是 cos((x-20°)+20°)=cos x，逆用两角和余弦公式
47选择题
化简 sin(α+30°)cosα-cos(α+30°)sinα 的结果是（ ）
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答案C．1/2
解析这是 sin((α+30°)-α)=sin30°，两角差正弦公式逆用，约掉 α 后就是 sin30°=1/2
48选择题
化简 cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ 的结果是（ ）
Asinα
Bcosβ
Csin(α+2β)
Dcosα
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答案D．cosα
解析这是 cos((α+β)-β)=cosα，两角差余弦公式逆用，β 被约掉了
49选择题
化简 (tan x+tan30°)/(1-tan x tan30°) 的结果是（ ）
Atan(x+30°)
Btan(x-30°)
Ctan x
Dtan(30°-x)
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答案A．tan(x+30°)
解析这是 tan(x+30°) 的展开，分子加分母减，直接拼回去就是 tan(x+30°)
50选择题
化简 sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ 的结果是（ ）
Acosα
Bsinα
Csin(α-2β)
Dsinβ
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答案B．sinα
解析这是 sin((α-β)+β)=sinα，两角和正弦公式逆用，β 被约掉了
51选择题
化简 cos(α+45°)cos45°-sin(α+45°)sin45° 的结果是（ ）
Asinα
Bcosα
C-sinα
D-cosα
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答案C．-sinα
解析这是 cos((α+45°)+45°)=cos(α+90°)，而 cos(α+90°)=-sinα，两步走：先拼再用诱导公式
52选择题
化简 sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ 的结果是（ ）
Acosα
Bsinβ
Ccos(α+2β)
Dsinα
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答案D．sinα
解析这是 sin((α+β)-β)=sinα，两角差正弦公式逆用，β 被约掉了
53选择题
化简 (1+tan x)/(1-tan x) 的结果是（ ）
Atan(45°+x)
Btan(45°-x)
Ctan x
D1
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答案A．tan(45°+x)
解析因为 tan45°=1，所以这是 tan(45°+x) 的展开，分子加分母减拼回去
54选择题
化简 (tan60°+tan x)/(1-tan60°tan x) 的结果是（ ）
Atan(60°-x)
Btan(60°+x)
Ctan x
Dtan(30°+x)
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答案B．tan(60°+x)
解析这是 tan(60°+x) 的展开，分子是加号，直接拼回去就是 tan(60°+x)
55选择题
已知 α 为锐角，sinα=3/5，则 sin(α+30°) 的值是（ ）
A(4√3+3)/10
B(3√3-4)/10
C(3√3+4)/10
D1/2
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答案C．(3√3+4)/10
解析α 锐角则 cosα=4/5，sin(α+30°)=sinαcos30°+cosαsin30°=(3/5)(√3/2)+(4/5)(1/2)=(3√3+4)/10
56选择题
已知 α 为锐角，sinα=3/5，则 cos(α-60°) 的值是（ ）
A(4-3√3)/10
B(3√3+4)/5
C√3/2
D(4+3√3)/10
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答案D．(4+3√3)/10
解析α 锐角则 cosα=4/5，cos(α-60°)=cosαcos60°+sinαsin60°=(4/5)(1/2)+(3/5)(√3/2)=(4+3√3)/10
57选择题
已知 α 为锐角，cosα=5/13，则 sin(α+45°) 的值是（ ）
A17√2/26
B7√2/26
C17√2/13
D√2/2
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答案A．17√2/26
解析α 锐角则 sinα=12/13，sin(α+45°)=sinαcos45°+cosαsin45°=(12/13+5/13)(√2/2)=17√2/26
58选择题
已知 α 为第二象限角，sinα=4/5，则 cos(α+30°) 的值是（ ）
A(3√3-4)/10
B(-3√3-4)/10
C(-3√3+4)/10
D-1/2
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答案B．(-3√3-4)/10
解析第二象限则 cosα=-3/5，cos(α+30°)=cosαcos30°-sinαsin30°=(-3/5)(√3/2)-(4/5)(1/2)=(-3√3-4)/10
59选择题
已知 α,β 均为锐角，sinα=3/5，cosβ=5/13，则 sin(α+β) 的值是（ ）
A16/65
B56/65
C63/65
D33/65
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答案C．63/65
解析cosα=4/5，sinβ=12/13，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(3/5)(5/13)+(4/5)(12/13)=63/65
60选择题
已知 α,β 均为锐角，sinα=3/5，cosβ=5/13，则 cos(α+β) 的值是（ ）
A16/65
B-33/65
C63/65
D-16/65
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答案D．-16/65
解析cosα=4/5，sinβ=12/13，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(4/5)(5/13)-(3/5)(12/13)=-16/65，注意结果是负数
61选择题
已知 α,β 均为锐角，cosα=12/13，sinβ=3/5，则 sin(α-β) 的值是（ ）
A-16/65
B16/65
C-33/65
D56/65
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答案A．-16/65
解析sinα=5/13，cosβ=4/5，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(5/13)(4/5)-(12/13)(3/5)=-16/65，注意是负数
62选择题
已知 α 为锐角，tanα=2，则 tan(α+45°) 的值是（ ）
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答案B．-3
解析tan(α+45°)=(tanα+tan45°)/(1-tanαtan45°)=(2+1)/(1-2)=-3，分母是负数别算错
63选择题
已知 α 为锐角，sinα=3/5，则 sin(α-30°) 的值是（ ）
A(4-3√3)/10
B(3√3+4)/10
C(3√3-4)/10
D-1/2
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答案C．(3√3-4)/10
解析α 锐角则 cosα=4/5，sin(α-30°)=sinαcos30°-cosαsin30°=(3/5)(√3/2)-(4/5)(1/2)=(3√3-4)/10
64选择题
已知 α 为锐角，cosα=4/5，则 cos(α+45°) 的值是（ ）
A7√2/10
B√2/2
C-√2/10
D√2/10
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答案D．√2/10
解析α 锐角则 sinα=3/5，cos(α+45°)=cosαcos45°-sinαsin45°=(4/5-3/5)(√2/2)=√2/10
65选择题
已知 tanα=2，tanβ=3，则 tan(α+β) 的值是（ ）
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答案A．-1
解析tan(α+β)=(2+3)/(1-2×3)=5/(-5)=-1，分母是 1-tanαtanβ，别写成加号
66选择题
已知 tanα=1/2，tanβ=1/3，则 tan(α+β) 的值是（ ）
查看答案与解析
答案B．1
解析tan(α+β)=(1/2+1/3)/(1-(1/2)(1/3))=(5/6)/(5/6)=1，分子分母约掉了
67选择题
已知 tanα=3，tanβ=1，则 tan(α-β) 的值是（ ）
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答案C．1/2
解析tan(α-β)=(3-1)/(1+3×1)=2/4=1/2，差角公式分母是加号
68选择题
已知 tanα=1/4，tanβ=1/5，则 tan(α+β) 的值是（ ）
查看答案与解析
答案D．9/19
解析tan(α+β)=(1/4+1/5)/(1-(1/4)(1/5))=(9/20)/(19/20)=9/19，别忘了分母也要算
69选择题
已知 tan(α+β)=2，tanβ=1/3，则 tanα 的值是（ ）
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答案A．1
解析把 α 看成 (α+β)-β，用两角差正切公式：tanα=(2-1/3)/(1+2×1/3)=(5/3)/(5/3)=1
70选择题
已知 tan(α-β)=1/3，tanβ=1/2，则 tanα 的值是（ ）
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答案B．1
解析把 α 看成 (α-β)+β，用两角和正切公式：tanα=(1/3+1/2)/(1-(1/3)(1/2))=(5/6)/(5/6)=1
71选择题
用两角和正切公式求 tan75°=tan(45°+30°)，正确的算式是（ ）
A(1+tan30°)/(1+tan30°)
B(tan30°-1)/(1+tan30°)
C(1+tan30°)/(1-tan30°)
D(1-tan30°)/(1+tan30°)
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答案C．(1+tan30°)/(1-tan30°)
解析tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，tan45°=1，代入得 (1+tan30°)/(1-tan30°)，分子加分母减
72选择题
已知 α+β=45°，tanα=1/3，则 tanβ 的值是（ ）
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答案D．1/2
解析β=45°-α，用两角差正切公式：tanβ=(1-1/3)/(1+1×1/3)=(2/3)/(4/3)=1/2
73填空题
sin75°=____。
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答案(√6+√2)/4
解析把 75° 拆成 45°+30°，套两角和正弦公式：sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4
74填空题
cos15°=____。
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答案(√6+√2)/4
解析把 15° 拆成 45°-30°，套两角差余弦公式：cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√6+√2)/4
75填空题
tan15°=____。
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答案2-√3
解析把 15° 拆成 45°-30°，tan15°=(1-tan30°)/(1+tan30°)，化简得 2-√3
76填空题
sin(α+β)=sinαcosβ____cosαsinβ。
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答案+
解析两角和的正弦公式中间是加号，"正余加余正"
77填空题
cos(α-β)=cosαcosβ____sinαsinβ。
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答案+
解析两角差的余弦公式中间是加号，"余余加正正"，别和正弦搞混
78填空题
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1____tanαtanβ)。
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答案-
解析两角和的正切公式分母是减号：1-tanαtanβ，分子加分母减
79填空题
sin20°cos25°+cos20°sin25°=____。
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答案√2/2
解析这是 sin(20°+25°)=sin45° 的展开，拼回去就是 sin45°=√2/2
80填空题
cos40°cos10°+sin40°sin10°=____。
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答案√3/2
解析这是 cos(40°-10°)=cos30° 的展开，拼回去就是 cos30°=√3/2
81填空题
sin(α-β) 的展开式中，cosαsinβ 前面的符号是____。
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答案-
解析sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，第二项前面是减号
82填空题
已知 α 为锐角，sinα=3/5，则 sin(α+90°)=____。
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答案4/5
解析sin(α+90°)=sinαcos90°+cosαsin90°=cosα，α 锐角则 cosα=4/5
83填空题
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1____tanαtanβ)。
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答案+
解析两角差的正切公式分母是加号：1+tanαtanβ，分子减分母加
84填空题
sin105°=____。
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答案(√6+√2)/4
解析把 105° 拆成 60°+45°，sin105°=sin60°cos45°+cos60°sin45°=(√6+√2)/4
85填空题
cos75°=____。
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答案(√6-√2)/4
解析把 75° 拆成 45°+30°，cos75°=cos45°cos30°-sin45°sin30°=(√6-√2)/4
86填空题
化简 sin(x+45°)cos45°-cos(x+45°)sin45°=____。
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答案sin x
解析把 (x+45°) 看成整体，这是 sin((x+45°)-45°)=sin x
87填空题
tan75°=____。
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答案2+√3
解析把 75° 拆成 45°+30°，tan75°=(1+tan30°)/(1-tan30°)，化简得 2+√3
88填空题
sin(α+30°)cos30°+cos(α+30°)sin30°=____。
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答案sin(α+60°)
解析这是 sin((α+30°)+30°)=sin(α+60°) 的展开，拼回去角度相加
89填空题
已知 tanα=1/2，tanβ=1/2，则 tan(α+β)=____。
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答案4/3
解析tan(α+β)=(1/2+1/2)/(1-(1/2)(1/2))=1/(3/4)=4/3
90填空题
cos(α+β) 的展开式中，sinαsinβ 前面的符号是____。
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答案-
解析cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，第二项前面是减号
91填空题
sin15°=____。
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答案(√6-√2)/4
解析把 15° 拆成 45°-30°，sin15°=sin45°cos30°-cos45°sin30°=(√6-√2)/4
92填空题
sin65°cos35°-cos65°sin35°=____。
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答案1/2
解析这是 sin(65°-35°)=sin30° 的展开，拼回去就是 sin30°=1/2
93填空题
已知 α 为锐角，cosα=3/5，则 sin(α+30°)=____。
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答案(4√3+3)/10
解析α 锐角则 sinα=4/5，sin(α+30°)=(4/5)(√3/2)+(3/5)(1/2)=(4√3+3)/10
94填空题
(tan45°+tan15°)/(1-tan45°tan15°)=____。
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答案√3
解析这是 tan(45°+15°)=tan60° 的展开，拼回去就是 tan60°=√3
95填空题
sin(π/12)=____。
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答案(√6-√2)/4
解析π/12 就是 15°，拆成 45°-30° 用两角差正弦公式，结果是 (√6-√2)/4
96填空题
cos(α-β) 展开后的第二项是____。
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答案sinαsinβ
解析cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，第二项是 sinαsinβ
97填空题
若 α+β=60°，则 sin(α+β)=____。
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答案√3/2
解析α+β=60°，直接代入得 sin60°=√3/2
98填空题
化简 cos(α+20°)cos20°-sin(α+20°)sin20°=____。
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答案cos(α+40°)
解析这是 cos((α+20°)+20°)=cos(α+40°) 的展开，拼回去角度相加
99填空题
tan(α+β) 公式的分母是____。
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答案1-tanαtanβ
解析tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，分母是 1-tanαtanβ
100填空题
已知 α,β 均为锐角，sinα=5/13，cosα=12/13，sinβ=4/5，cosβ=3/5，则 sin(α-β)=____。
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答案-33/65
解析sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=(5/13)(3/5)-(12/13)(4/5)=15/65-48/65=-33/65
101填空题
cos(π/12)=____。
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答案(√6+√2)/4
解析π/12 就是 15°，拆成 45°-30° 用两角差余弦公式，结果是 (√6+√2)/4
102填空题
已知 tanα=2，tanβ=4，则 tan(β-α)=____。
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答案2/9
解析tan(β-α)=(tanβ-tanα)/(1+tanβtanα)=(4-2)/(1+8)=2/9，注意是 β 减 α，不是 α 减 β
103解答题
求 sin75° 的值（要求写出拆分过程）。
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答案(√6+√2)/4
分值：10 分
解析75° 不是特殊角，先拆成两个特殊角 45°+30°，再套两角和正弦公式直接代入算
参考答案把 75° 拆成 45°+30°；套两角和正弦公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；得 sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4
104解答题
求 cos15° 的值。
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答案(√6+√2)/4
分值：10 分
解析15° 拆成 45°-30°，用两角差余弦公式，注意余弦差角展开中间是加号
参考答案把 15° 拆成 45°-30°；套两角差余弦公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；得 cos45°cos30°+sin45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4
105解答题
求 tan75° 的值。
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答案2+√3
分值：10 分
解析75° 拆成 45°+30°，tan45°=1 代入公式，算完记得化简成分母不含根号的形式
参考答案把 75° 拆成 45°+30°；套两角和正切公式 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)；得 (1+√3/3)/(1-√3/3)，分子分母同乘 3 化简得 2+√3
106解答题
化简并求值：sin20°cos40°+cos20°sin40°。
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答案√3/2
分值：10 分
解析看到 sin·cos+cos·sin 就想到正弦和角公式倒着用，先拼成 sin(20°+40°)，再求 sin60°
参考答案观察结构是"正余加余正"，逆用两角和正弦公式拼成 sin(20°+40°)=sin60°；sin60°=√3/2
107解答题
化简并求值：cos55°cos25°+sin55°sin25°。
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答案√3/2
分值：10 分
解析看到 cos·cos+sin·sin 就想到余弦差角公式倒着用，拼成 cos(55°-25°)，再求 cos30°
参考答案观察结构是"余余加正正"，逆用两角差余弦公式拼成 cos(55°-25°)=cos30°；cos30°=√3/2
108解答题
已知 α 为锐角，sinα=3/5，求 sin(α+45°) 的值。
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答案7√2/10
分值：10 分
解析先由平方关系求出 cosα=4/5（锐角取正），再把两个值一起代入两角和正弦公式
参考答案α 为锐角且 sinα=3/5，则 cosα=4/5；套公式 sin(α+45°)=sinαcos45°+cosαsin45°=(3/5)(√2/2)+(4/5)(√2/2)=7√2/10
109解答题
已知 α,β 均为锐角，sinα=3/5，cosβ=5/13，求 cos(α-β) 的值。
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答案56/65
分值：10 分
解析先把缺的 cosα 和 sinβ 用 sin²+cos²=1 补出来，注意锐角符号取正，再代入差角余弦公式
参考答案由平方关系得 cosα=4/5，sinβ=12/13（锐角取正）；套公式 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(4/5)(5/13)+(3/5)(12/13)=56/65
110解答题
已知 tanα=2，tanβ=1/3，求 tan(α+β) 的值。
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答案7
分值：10 分
解析直接把两个正切值代入公式，分子分母分别算好再相除，注意分母是 1 减乘积
参考答案套两角和正切公式 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=(2+1/3)/(1-2×1/3)=(7/3)/(1/3)=7
111解答题
化简：sin(x+30°)cos30°-cos(x+30°)sin30°。
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答案sin x
分值：10 分
解析含字母的式子也一样逆用公式，把 x+30° 当成一个角，减掉 30° 后就只剩 sin x
参考答案把 (x+30°) 看成一个整体，结构是"正余减余正"，逆用两角差正弦公式得 sin((x+30°)-30°)=sin x
112解答题
求 sin105° 的值（把 105° 拆成 60°+45°）。
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答案(√6+√2)/4
分值：10 分
解析105° 拆成 60°+45°，套两角和正弦公式，把四个特殊角的值代入算
参考答案sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=(√3/2)(√2/2)+(1/2)(√2/2)=(√6+√2)/4
113解答题
已知 cosα=-4/5，α 为第二象限角，求 sin(α-30°) 的值。
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答案(3√3+4)/10
分值：10 分
解析先定符号：第二象限正弦为正，所以 sinα=3/5；再代入差角正弦公式，注意 cosα 是负数，减负变加
参考答案第二象限角 sinα>0，由平方关系得 sinα=3/5；套公式 sin(α-30°)=sinαcos30°-cosαsin30°=(3/5)(√3/2)-(-4/5)(1/2)=(3√3+4)/10
114解答题
化简并求值：(tan20°+tan40°)/(1-tan20°tan40°)。
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答案√3
分值：10 分
解析看到 (tan+tan)/(1-tan·tan) 就想到正切和角公式倒着用，拼成 tan60° 再求值
参考答案分子加分母减，是两角和正切公式的展开，逆用拼成 tan(20°+40°)=tan60°；tan60°=√3
115解答题
已知 α,β 均为锐角，cosα=4/5，sinβ=5/13，求 sin(α+β) 的值。
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答案56/65
分值：10 分
解析先补出 sinα 和 cosβ，锐角都取正值，再代入和角正弦公式算
参考答案由平方关系得 sinα=3/5，cosβ=12/13（锐角取正）；套公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=(3/5)(12/13)+(4/5)(5/13)=56/65
116解答题
求 cos105° 的值（把 105° 拆成 60°+45°）。
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答案(√2-√6)/4
分值：10 分
解析105° 拆成 60°+45°，套两角和余弦公式，注意展开中间是减号，结果是负数
参考答案cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45°=(1/2)(√2/2)-(√3/2)(√2/2)=(√2-√6)/4
117解答题
化简：cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ。
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答案cosα
分值：10 分
解析含字母也一样逆用公式，把 α+β 当成一个角，减掉 β 就只剩 cosα
参考答案把 (α+β) 看成一个整体，结构是"余余加正正"，逆用两角差余弦公式得 cos((α+β)-β)=cosα
118解答题
已知 tan(α+β)=3，tanβ=1，求 tanα 的值。
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答案1/2
分值：10 分
解析已知和角求其中一个角，就把 α 拆成 (α+β)-β，转化为差角正切公式来算
参考答案把 α 写成 (α+β)-β，套两角差正切公式：tanα=(tan(α+β)-tanβ)/(1+tan(α+β)tanβ)=(3-1)/(1+3×1)=1/2
119解答题
求 sin15° 的值（把 15° 拆成 45°-30°）。
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答案(√6-√2)/4
分值：10 分
解析15° 拆成 45°-30°，套两角差正弦公式，注意展开中间是减号
参考答案sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)-(√2/2)(1/2)=(√6-√2)/4
120解答题
已知 α 为锐角，sinα=3/5，求 sin(α+30°)cos30°+cos(α+30°)sin30° 的值。
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答案(3+4√3)/10
分值：10 分
解析两步走：先把式子逆用公式拼成 sin(α+60°)，再由 sinα 求出 cosα=4/5，代入和角正弦公式算
参考答案先逆用公式拼成 sin((α+30°)+30°)=sin(α+60°)；α 锐角则 cosα=4/5；sin(α+60°)=sinαcos60°+cosαsin60°=(3/5)(1/2)+(4/5)(√3/2)=(3+4√3)/10
121选择题
已知 sinα=1/2，cosα=√3/2，则 sin2α=（ ）
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答案A．√3/2
解析直接套 sin2α=2sinαcosα：2×(1/2)×(√3/2)=√3/2，别忘了前面的系数 2
122选择题
sin15°cos15°=（ ）
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答案A．1/4
解析逆用公式：sin15°cos15°=(1/2)·2sin15°cos15°=(1/2)sin30°=1/4，先凑出 2 倍再套公式
123选择题
已知 sinα=3/5，cosα=4/5，则 sin2α=（ ）
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答案A．24/25
解析sin2α=2×(3/5)×(4/5)=24/25；干扰项 12/25 是漏了乘 2，7/25 是错用了 cos2α 的公式
124选择题
sin75°cos75°=（ ）
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答案A．1/4
解析sin75°cos75°=(1/2)sin150°=(1/2)×(1/2)=1/4；注意 sin150°=sin30°=1/2，不是 √3/2
125选择题
已知 sinα=√2/2，cosα=-√2/2，则 sin2α=（ ）
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答案A．-1
解析sin2α=2×(√2/2)×(-√2/2)=-1，注意 cosα 是负的，乘出来结果带负号
126选择题
2sin22.5°cos22.5°=（ ）
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答案A．√2/2
解析这正是 sin2α 的展开形式：2sin22.5°cos22.5°=sin45°=√2/2，直接认出来就行
127选择题
已知 sinα=-1/2，cosα=√3/2，则 sin2α=（ ）
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答案A．-√3/2
解析sin2α=2×(-1/2)×(√3/2)=-√3/2，sinα 的负号会传到结果上
128选择题
sin(π/12)cos(π/12)=（ ）
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答案A．1/4
解析先凑系数 1/2：原式=(1/2)·2sin(π/12)cos(π/12)=(1/2)sin(π/6)=(1/2)×(1/2)=1/4
129选择题
sinαcosα 等于（ ）
A(1/2)sin2α
Bsin2α
C2sin2α
Dcos2α
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答案A．(1/2)sin2α
解析sin2α=2sinαcosα 反过来用：sinαcosα=(1/2)sin2α，系数 1/2 不能丢
130选择题
化简 sin20°cos20°=（ ）
A(1/2)sin40°
Bsin40°
C2sin40°
Dsin80°
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答案A．(1/2)sin40°
解析凑出 2 倍：sin20°cos20°=(1/2)×2sin20°cos20°=(1/2)sin40°，角度要翻倍
131选择题
4sinαcosα=（ ）
A2sin2α
Bsin2α
C(1/2)sin2α
Dsin4α
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答案A．2sin2α
解析4sinαcosα=2×(2sinαcosα)=2sin2α，把 4 拆成 2×2，其中一个 2 拿去配公式
132选择题
sinxcosxcos2x=（ ）
A(1/4)sin4x
B(1/2)sin4x
Csin4x
D(1/2)sin2x
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答案A．(1/4)sin4x
解析用两次公式：sinxcosx=(1/2)sin2x，再乘 cos2x 得 (1/2)sin2xcos2x=(1/4)sin4x，每次用完角度翻一倍
133选择题
sin2xcos2x=（ ）
A(1/2)sin4x
Bsin4x
C2sin4x
D(1/4)sin4x
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答案A．(1/2)sin4x
解析把 2x 看成一个整体 α：sin2xcos2x=(1/2)×2sin2xcos2x=(1/2)sin4x
134选择题
sin3xcos3x=（ ）
A(1/2)sin6x
Bsin6x
C2sin6x
Dcos6x
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答案A．(1/2)sin6x
解析同样把 3x 看成整体：sin3xcos3x=(1/2)sin6x，系数和角度都要变
135选择题
已知 sinα=1/2，则 cos2α=（ ）
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答案A．1/2
解析已知 sinα 求 cos2α，直接套 cos2α=1-2sin²α=1-2×(1/4)=1/2，不用先求 cosα
136选择题
已知 cosα=1/2，则 cos2α=（ ）
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答案A．-1/2
解析已知 cosα 求 cos2α，直接套 cos2α=2cos²α-1=2×(1/4)-1=-1/2，别错用成 1-2sin²α
137选择题
已知 sinα=-3/5，则 cos2α=（ ）
A7/25
B-7/25
C1/25
D31/25
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答案A．7/25
解析cos2α=1-2sin²α=1-2×(9/25)=7/25；注意平方后负号没了，选形式时看已知条件是 sin 还是 cos
138选择题
已知 cosα=-4/5，则 cos2α=（ ）
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答案A．7/25
解析cos2α=2cos²α-1=2×(16/25)-1=7/25；cosα 的负号平方后变正，不影响结果
139选择题
cos²15°-sin²15°=（ ）
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答案A．√3/2
解析这正是 cos2α 的展开：cos²15°-sin²15°=cos30°=√3/2，直接认出来
140选择题
2cos²(π/8)-1=（ ）
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答案A．√2/2
解析2cos²α-1 是 cos2α 的一种形式：2cos²(π/8)-1=cos(π/4)=√2/2
141选择题
1-2sin²22.5°=（ ）
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答案A．√2/2
解析1-2sin²α=cos2α，所以 1-2sin²22.5°=cos45°=√2/2
142选择题
已知 sinα=√3/2，则 cos2α=（ ）
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答案A．-1/2
解析cos2α=1-2sin²α=1-2×(3/4)=-1/2；结果为负很正常，别因为"余弦求出来是负的"就怀疑
143选择题
已知 cosα=√2/2，则 cos2α=（ ）
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答案A．0
解析cos2α=2cos²α-1=2×(1/2)-1=0；45° 的二倍角是 90°，cos90°=0，互相印证
144选择题
sin²75°-cos²75°=（ ）
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答案A．√3/2
解析顺序反了：sin²75°-cos²75°=-(cos²75°-sin²75°)=-cos150°=√3/2，注意负号
145选择题
已知 sinα=2/3，则 cos2α=（ ）
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答案A．1/9
解析cos2α=1-2sin²α=1-2×(4/9)=1/9
146选择题
已知 cosα=3/4，则 cos2α=（ ）
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答案A．1/8
解析cos2α=2cos²α-1=2×(9/16)-1=1/8
147选择题
已知 tanα=2，则 tan2α=（ ）
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答案A．-4/3
解析tan2α=2tanα/(1-tan²α)=4/(1-4)=-4/3；分母是 1 减去平方，结果为负别慌
148选择题
已知 tanα=1/2，则 tan2α=（ ）
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答案A．4/3
解析tan2α=2×(1/2)/(1-1/4)=1/(3/4)=4/3
149选择题
已知 tanα=-1/3，则 tan2α=（ ）
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答案A．-3/4
解析tan2α=2×(-1/3)/(1-1/9)=(-2/3)/(8/9)=-3/4，分子分母都算对再约分
150选择题
已知 tanα=3，则 tan2α=（ ）
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答案A．-3/4
解析tan2α=6/(1-9)=-3/4；tanα 较大时分母 1-tan²α 是负的，结果符号跟着变
151选择题
tan2α 的公式是（ ）
A2tanα/(1-tan²α)
B2tanα/(1+tan²α)
Ctanα/(1-tan²α)
Dtan²α/(1-tanα)
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答案A．2tanα/(1-tan²α)
解析牢记 tan2α=2tanα/(1-tan²α)：分子是 2 倍，分母是 1 减平方；写成 1+tan²α 是最常见的错
152选择题
已知 tanα=√3，则 tan2α=（ ）
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答案A．-√3
解析tan2α=2√3/(1-3)=-√3；也可以想成 α=60°，2α=120°，tan120°=-√3
153选择题
已知 tanα=-2，则 tan2α=（ ）
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答案A．4/3
解析tan2α=2×(-2)/(1-4)=(-4)/(-3)=4/3，负负得正
154选择题
已知 tanα=1/3，则 tan2α=（ ）
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答案A．3/4
解析tan2α=(2/3)/(1-1/9)=(2/3)/(8/9)=3/4
155选择题
sin²15°=（ ）
A(2-√3)/4
B(2+√3)/4
C(1-√3)/4
D√3/4
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答案A．(2-√3)/4
解析降幂：sin²15°=(1-cos30°)/2=(1-√3/2)/2=(2-√3)/4，注意是 1 减 cos
156选择题
cos²30°=（ ）
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答案A．3/4
解析降幂：cos²30°=(1+cos60°)/2=(1+1/2)/2=3/4，注意是 1 加 cos；也可以直接算 (√3/2)²=3/4
157选择题
化简 (1-cos2α)/2 等于（ ）
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答案A．sin²α
解析降幂公式反过来认：(1-cos2α)/2=sin²α，减号对应正弦
158选择题
化简 (1+cos2α)/2 等于（ ）
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答案A．cos²α
解析(1+cos2α)/2=cos²α，加号对应余弦，和上一题配对记
159选择题
sin²α=（ ）
A(1-cos2α)/2
B(1+cos2α)/2
C(1-cosα)/2
D1-cos²α
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答案A．(1-cos2α)/2
解析降幂公式 sin²α=(1-cos2α)/2：正弦配减号，角度翻倍，别写成 (1-cosα)/2
160选择题
cos²α=（ ）
A(1+cos2α)/2
B(1-cos2α)/2
C(1+cosα)/2
D1-sin²α
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答案A．(1+cos2α)/2
解析降幂公式 cos²α=(1+cos2α)/2：余弦配加号，角度翻倍
161选择题
sin²(π/8)=（ ）
A(2-√2)/4
B(2+√2)/4
C(1-√2)/4
D√2/4
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答案A．(2-√2)/4
解析sin²(π/8)=(1-cos(π/4))/2=(1-√2/2)/2=(2-√2)/4
162选择题
cos²(π/12)=（ ）
A(2+√3)/4
B(2-√3)/4
C(1+√3)/4
D√3/4
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答案A．(2+√3)/4
解析cos²(π/12)=(1+cos(π/6))/2=(1+√3/2)/2=(2+√3)/4
163选择题
sinα+cosα=（ ）
A√2sin(α+45°)
Bsin(α+45°)
C2sin(α+45°)
D√2cos(α+45°)
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答案A．√2sin(α+45°)
解析辅助角公式：系数是 √(1²+1²)=√2，所以 sinα+cosα=√2sin(α+45°)；系数既不是 1 也不是 2，是 √2
164选择题
sinα-cosα=（ ）
A√2sin(α-45°)
Bsin(α-45°)
C√2sin(α+45°)
D√2cos(α-45°)
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答案A．√2sin(α-45°)
解析系数仍是 √2，cos 前面是减号则角度里减 45°：sinα-cosα=√2sin(α-45°)，符号要配对
165选择题
√3sinα+cosα=（ ）
A2sin(α+30°)
Bsin(α+30°)
C2sin(α+60°)
D√2sin(α+30°)
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答案A．2sin(α+30°)
解析系数 √(3+1)=2；tanφ=1/√3 得 φ=30°，所以 =2sin(α+30°)
166选择题
√3sinα-cosα=（ ）
A2sin(α-30°)
B2sin(α+30°)
Csin(α-30°)
D2cos(α-30°)
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答案A．2sin(α-30°)
解析系数 2 不变，cos 前减号则角度减：√3sinα-cosα=2sin(α-30°)
167选择题
sinα+√3cosα=（ ）
A2sin(α+60°)
B2sin(α+30°)
Csin(α+60°)
D√2sin(α+60°)
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答案A．2sin(α+60°)
解析系数还是 2，但这次 cos 的系数是 √3，φ=60°：sinα+√3cosα=2sin(α+60°)；和"√3sinα+cosα"那题对比记，√3 在谁前面 φ 就偏向谁
168选择题
把 3sinα+4cosα 化为 Asin(α+φ) 的形式，则 A=（ ）
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答案A．5
解析A=√(3²+4²)=5，不是 3+4=7；辅助角的系数是平方和开根号
169选择题
把 √3sinx+cosx 化为 2sin(x+φ) 的形式，则 φ=（ ）
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答案A．30°
解析系数 √(3+1)=2 已定；tanφ=cos 的系数/sin 的系数=1/√3，所以 φ=30°
170选择题
cosα-sinα=（ ）
A√2sin(45°-α)
B√2sin(α-45°)
C√2sin(α+45°)
D-√2sin(45°-α)
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答案A．√2sin(45°-α)
解析提个负号：cosα-sinα=-(sinα-cosα)=-√2sin(α-45°)=√2sin(45°-α)，正弦是奇函数，负号可以吃进角度里
171选择题
2sinα+2cosα=（ ）
A2√2sin(α+45°)
B√2sin(α+45°)
C4sin(α+45°)
D2sin(α+45°)
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答案A．2√2sin(α+45°)
解析先提公因数 2：原式=2(sinα+cosα)=2√2sin(α+45°)；别把系数直接写成 2 或 4
172选择题
sinα-√3cosα=（ ）
A2sin(α-60°)
B2sin(α-30°)
Csin(α-60°)
D2cos(α-60°)
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答案A．2sin(α-60°)
解析系数 √(1+3)=2；cos 系数是 √3 且为减号，所以 =2sin(α-60°)
173选择题
sin75°+cos75°=（ ）
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答案A．√6/2
解析sin75°+cos75°=√2sin(75°+45°)=√2sin120°=√2×(√3/2)=√6/2；先用辅助角公式再求值
174选择题
sin30°+cos30°=（ ）
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答案A．(1+√3)/2
解析直接算：1/2+√3/2=(1+√3)/2；也可以套辅助角公式 √2sin75°，结果一样
175选择题
函数 y=sinx+cosx 的最大值是（ ）
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答案A．√2
解析y=√2sin(x+45°)≤√2；最大值就是辅助角公式里的系数 √2，不用求导
176选择题
函数 y=sinx-cosx 的最小值是（ ）
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答案A．-√2
解析y=√2sin(x-45°)≥-√2；最小值是系数的相反数 -√2
177选择题
函数 y=√3sinx+cosx 的最大值是（ ）
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答案A．2
解析y=2sin(x+30°)≤2；系数 √(3+1)=2 就是最大值
178选择题
函数 y=sinx+√3cosx 的最小值是（ ）
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答案A．-2
解析y=2sin(x+60°)≥-2；最小值取负的系数
179选择题
函数 y=3sinx+4cosx 的最大值是（ ）
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答案A．5
解析系数 √(9+16)=5，最大值就是 5；不是 3+4=7
180选择题
函数 y=2sinx-2cosx 的最大值是（ ）
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答案A．2√2
解析y=2(sinx-cosx)=2√2sin(x-45°)，最大值 2√2；先提公因数再看系数
181选择题
函数 y=sinx+cosx 取最大值时，x 的一个值是（ ）
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答案A．45°
解析y=√2sin(x+45°)，当 x+45°=90° 即 x=45° 时取最大值；代入原式验证 sin45°+cos45°=√2 也对
182选择题
函数 y=cosx-sinx 的最大值是（ ）
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答案A．√2
解析y=√2sin(45°-x)，正弦最大取 1，所以最大值 √2；和 sinx+cosx 的最大值一样
183选择题
函数 y=sin2x+cos2x 的最大值是（ ）
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答案A．√2
解析把 2x 看成整体：y=√2sin(2x+45°)≤√2；角度里的 2x 不影响最大值，只影响取到最值的 x
184选择题
函数 y=sinx+cosx+1 的最大值是（ ）
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答案A．√2+1
解析常数 1 不影响辅助角化简：y=√2sin(x+45°)+1≤√2+1；先化简再加常数
185选择题
化简 y=2sinxcosx+2cos²x-1=（ ）
A√2sin(2x+45°)
B√2sin(2x+30°)
Csin2x+cos2x+1
D2sin(2x+45°)
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答案A．√2sin(2x+45°)
解析分两步：2sinxcosx=sin2x，2cos²x-1=cos2x，得 y=sin2x+cos2x=√2sin(2x+45°)；先二倍角降次，再辅助角
186选择题
函数 y=sin2x-cos2x 的最大值是（ ）
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答案A．√2
解析y=√2sin(2x-45°)≤√2；减号只影响角度里的符号，不影响最大值
187选择题
化简 1-2sin²x+2sinxcosx=（ ）
A√2sin(2x+45°)
B√2sin(2x-45°)
Csin2x+cos2x
D2sin(2x+45°)
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答案A．√2sin(2x+45°)
解析1-2sin²x=cos2x，2sinxcosx=sin2x，相加得 sin2x+cos2x=√2sin(2x+45°)
188选择题
化简 y=2sin²x+sin2x-1=（ ）
A√2sin(2x-45°)
B√2sin(2x+45°)
Csin2x-cos2x
D2sin(2x-45°)
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答案A．√2sin(2x-45°)
解析2sin²x-1=-(1-2sin²x)=-cos2x，所以 y=sin2x-cos2x=√2sin(2x-45°)；注意 2sin²x-1 是 -cos2x，别弄反符号
189选择题
化简 sin2x+2cos²x=（ ）
A√2sin(2x+45°)+1
B√2sin(2x+45°)
Csin2x+cos2x
D2sin(2x+45°)+1
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答案A．√2sin(2x+45°)+1
解析2cos²x=1+cos2x，所以原式=sin2x+cos2x+1=√2sin(2x+45°)+1；常数 1 留到最后
190选择题
函数 y=sin2x+cos2x+2 的最小值是（ ）
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答案A．2-√2
解析y=√2sin(2x+45°)+2≥2-√2；最小值是常数减去系数
191选择题
已知 tanx=2，则 sin2x=（ ）
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答案A．4/5
解析sin2x=2sinxcosx，分子分母同除以 cos²x 得 sin2x=2tanx/(1+tan²x)=4/5；已知正切求正弦二倍角的常用技巧
192选择题
已知 sinα=4/5，α 为锐角，则 sin2α=（ ）
A24/25
B12/25
C7/25
D-24/25
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答案A．24/25
解析锐角则 cosα=3/5，sin2α=2×(4/5)×(3/5)=24/25；先定象限求 cosα，再套公式
193填空题
已知 sinα=3/5，cosα=4/5，则 sin2α=____。
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答案24/25
解析sin2α=2×(3/5)×(4/5)=24/25
194填空题
sin36°cos36°=____。
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答案(1/2)sin72°
解析逆用公式：sin36°cos36°=(1/2)×2sin36°cos36°=(1/2)sin72°
195填空题
2sin67.5°cos67.5°=____。
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答案√2/2
解析2sin67.5°cos67.5°=sin135°=sin45°=√2/2
196填空题
化简 6sinxcosx=____。
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答案3sin2x
解析6sinxcosx=3×(2sinxcosx)=3sin2x
197填空题
已知 cosα=1/3，则 cos2α=____。
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答案-7/9
解析已知 cos 用 2cos²α-1：2×(1/9)-1=-7/9
198填空题
已知 sinα=-2/3，则 cos2α=____。
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答案1/9
解析已知 sin 用 1-2sin²α：1-2×(4/9)=1/9
199填空题
2cos²75°-1=____。
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答案-√3/2
解析2cos²75°-1=cos150°=-cos30°=-√3/2
200填空题
1-2sin²(π/12)=____。
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答案√3/2
解析1-2sin²(π/12)=cos(π/6)=√3/2
201填空题
已知 sinα=√2/3，则 cos2α=____。
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答案5/9
解析cos2α=1-2sin²α=1-2×(2/9)=5/9
202填空题
cos4x=____（用 cos2x 表示）。
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答案2cos²2x-1
解析把 2x 看成整体：cos4x=cos2(2x)=2cos²2x-1
203填空题
已知 tanα=1/4，则 tan2α=____。
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答案8/15
解析tan2α=2×(1/4)/(1-1/16)=(1/2)/(15/16)=8/15
204填空题
已知 tanα=-3，则 tan2α=____。
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答案3/4
解析tan2α=2×(-3)/(1-9)=(-6)/(-8)=3/4，负负得正
205填空题
已知 tanα=2/3，则 tan2α=____。
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答案12/5
解析tan2α=(4/3)/(1-4/9)=(4/3)/(5/9)=12/5
206填空题
已知 tanα=5，则 tan2α=____。
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答案-5/12
解析tan2α=10/(1-25)=-5/12
207填空题
(1+cos40°)/2=____。
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答案cos²20°
解析降幂反过来认：(1+cos40°)/2=cos²20°，加号配余弦，角度减半
208填空题
(1-cos100°)/2=____。
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答案sin²50°
解析(1-cos100°)/2=sin²50°，减号配正弦，角度减半
209填空题
sin²x=(1-____)/2。
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答案cos2x
解析降幂公式 sin²x=(1-cos2x)/2
210填空题
cos²15°=____。
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答案(2+√3)/4
解析cos²15°=(1+cos30°)/2=(1+√3/2)/2=(2+√3)/4
211填空题
sinx+cosx=√2sin(x+____°)。
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答案45
解析辅助角公式：sinx+cosx=√2sin(x+45°)，tanφ=1 得 φ=45°
212填空题
√3sinx-cosx=2sin(x-____°)。
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答案30
解析系数 √(3+1)=2，cos 前减号角度减：√3sinx-cosx=2sin(x-30°)
213填空题
sinx-√3cosx=____sin(x-60°)。
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答案2
解析系数 √(1+3)=2，所以 sinx-√3cosx=2sin(x-60°)
214填空题
3sinx-4cosx 化为 Asin(x+φ) 的形式，A=____。
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215填空题
cosx+√3sinx=2sin(x+____°)。
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答案30
解析2sin(x+30°)=2(sinx·√3/2+cosx·1/2)=√3sinx+cosx，对上了，所以填 30°
216填空题
sinx+cosx 取最大值 √2 时，sinxcosx=____。
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答案1/2
解析取最大值时 x=45°，sinxcosx=sin45°cos45°=1/2；也可用 (sinx+cosx)²=1+2sinxcosx=2 反推
217填空题
函数 y=2sinx+2√3cosx 的最大值是____。
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答案4
解析系数 √(4+12)=4，y=4sin(x+60°)，最大值 4
218填空题
函数 y=sinx-cosx 的最小值是____。
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答案-√2
解析y=√2sin(x-45°)，最小值 -√2
219填空题
函数 y=√3sin2x+cos2x 的最大值是____。
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答案2
解析把 2x 看成整体：y=2sin(2x+30°)≤2
220填空题
函数 y=sinx+cosx-2 的最大值是____。
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答案√2-2
解析y=√2sin(x+45°)-2≤√2-2，常数 -2 直接加上
221填空题
化简 2sin²x-1+2sinxcosx=____。
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答案√2sin(2x-45°)
解析2sin²x-1=-cos2x，2sinxcosx=sin2x，得 sin2x-cos2x=√2sin(2x-45°)
222填空题
函数 y=sin2x+2sin²x 的最小值是____。
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答案1-√2
解析2sin²x=1-cos2x，所以 y=sin2x-cos2x+1=√2sin(2x-45°)+1，最小值 1-√2
223解答题
已知 sinα=1/2，cosα=√3/2，求 sin2α 和 cos2α 的值。
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答案sin2α=√3/2，cos2α=1/2
分值：10 分
解析两个都是公式直接套：正弦二倍角用 2sinαcosα；余弦二倍角三种形式任选一种，这里已知 sin 和 cos，用 cos²α-sin²α 最顺手
参考答案sin2α=2sinαcosα=2×(1/2)×(√3/2)=√3/2；cos2α=cos²α-sin²α=3/4-1/4=1/2（也可用 2cos²α-1 或 1-2sin²α，结果相同）。
224解答题
已知 sinα=-3/5，α 是第三象限角，求 sin2α 的值。
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答案24/25
分值：10 分
解析先由象限定 cosα 的符号求出 cosα=-4/5，再套 sin2α=2sinαcosα；两个负数相乘结果为正
参考答案第三象限 cosα<0，cosα=-√(1-9/25)=-4/5；sin2α=2sinαcosα=2×(-3/5)×(-4/5)=24/25。
225解答题
已知 cosα=3/5，α 是第四象限角，求 cos2α 的值。
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答案-7/25
分值：10 分
解析已知 cosα 求 cos2α，直接套 cos2α=2cos²α-1，不用先求 sinα，一步到位
参考答案cos2α=2cos²α-1=2×(9/25)-1=-7/25。
226解答题
化简 sin20°cos20°cos40°。
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答案(1/4)sin80°
分值：10 分
解析连续用两次 sin2α 公式：第一次把 sin20°cos20° 化成 (1/2)sin40°，第二次把 (1/2)sin40°cos40° 化成 (1/4)sin80°，每次角度翻倍
参考答案sin20°cos20°=(1/2)sin40°，再乘 cos40° 得 (1/2)sin40°cos40°=(1/4)sin80°。
227解答题
已知 tanα=1/3，求 tan2α 的值。
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答案3/4
分值：10 分
解析直接套 tan2α 公式：分子 2tanα，分母 1-tan²α，分数除法要细心
参考答案tan2α=2tanα/(1-tan²α)=(2/3)/(1-1/9)=(2/3)/(8/9)=3/4。
228解答题
化简 (1-cos2x)/(1+cos2x)。
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答案tan²x
分值：10 分
解析降幂公式反用：1-cos2x 化成 2sin²x，1+cos2x 化成 2cos²x，2 约掉就剩 tan²x
参考答案分子 1-cos2x=2sin²x，分母 1+cos2x=2cos²x，相除得 sin²x/cos²x=tan²x。
229解答题
求 sin²(π/12) 的值。
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答案(2-√3)/4
分值：10 分
解析降幂公式：sin²α=(1-cos2α)/2，角度翻倍 π/12→π/6，cos(π/6)=√3/2
参考答案sin²(π/12)=(1-cos(π/6))/2=(1-√3/2)/2=(2-√3)/4。
230解答题
把 sinx-√3cosx 化为 Asin(x+φ) 的形式。
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答案2sin(x-60°)
分值：10 分
解析辅助角三步：系数 A=√(a²+b²)=2；φ 由 tanφ=b/a 定，这里 b=-√3 得 φ=-60°；写完代回去验证一下最保险
参考答案A=√(1+3)=2；tanφ=√3 且 cos 系数为负，取 φ=-60°，得 2sin(x-60°)。验证：2sin(x-60°)=2(sinx·1/2-cosx·√3/2)=sinx-√3cosx。
231解答题
求函数 y=√3sinx+cosx 的最大值和最小值。
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答案最大值 2，最小值 -2
分值：10 分
解析先用辅助角公式化成 2sin(x+30°)，最值就是 ±系数；求最值题第一步永远是化成一个三角函数
参考答案y=√(3+1)·sin(x+30°)=2sin(x+30°)，所以最大值为 2，最小值为 -2。
232解答题
求函数 y=sinx+cosx 在区间 [0,π] 上的最大值。
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答案√2
分值：10 分
解析化成 √2sin(x+45°) 后，看角度 x+45° 在区间里能不能取到 90°：能，x=45° 在 [0,π] 内，所以最大值就是 √2；若取不到 90° 就要看端点
参考答案y=√2sin(x+45°)，x∈[0,π] 时 x+45°∈[45°,225°]；当 x+45°=90° 即 x=45° 时，y 取最大值 √2。
233解答题
已知 sinα+cosα=1/2，求 sin2α 的值。
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答案-3/4
分值：10 分
解析看到 sinα+cosα 求 sin2α，直接两边平方：平方后会出现 2sinαcosα 就是 sin2α，这是固定套路
参考答案两边平方：(sinα+cosα)²=1/4，即 sin²α+cos²α+2sinαcosα=1/4，得 1+sin2α=1/4，所以 sin2α=-3/4。
234解答题
化简 y=2sinxcosx+2cos²x-1，并求其最大值。
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答案y=√2sin(2x+45°)，最大值 √2
分值：10 分
解析两步走：先用二倍角公式把次数降下来（sin2x+cos2x），再用辅助角公式化成一个正弦，最大值就是系数 √2
参考答案2sinxcosx=sin2x，2cos²x-1=cos2x，所以 y=sin2x+cos2x=√2sin(2x+45°)，最大值 √2。
235解答题
已知 tanα=2，计算 2tanα/(1-tan²α) 的值，并指出它等于什么。
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答案-4/3，它等于 tan2α
分值：10 分
解析认出这是 tan2α 的展开式：算出 -4/3 的同时，也说明以后看到这个分式可以直接写成 tan2α
参考答案2tanα/(1-tan²α)=4/(1-4)=-4/3；这正是 tan2α 的公式，所以它等于 tan2α。
236解答题
求函数 y=sin²x+√3sinxcosx 的最大值。
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答案3/2
分值：10 分
解析先降幂把平方项化掉，再把 sinxcosx 化成 (√3/2)sin2x，然后辅助角公式合并成 sin(2x-30°)+1/2，最大值 1+1/2=3/2；常数 1/2 最后再加
参考答案sin²x=(1-cos2x)/2，√3sinxcosx=(√3/2)sin2x，所以 y=(√3/2)sin2x-(1/2)cos2x+1/2=sin(2x-30°)+1/2，最大值 3/2。
237解答题
化简 cos⁴x-sin⁴x。
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答案cos2x
分值：10 分
解析先用平方差公式：cos⁴x-sin⁴x=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)，前一项是 1，后一项正好是 cos2x
参考答案cos⁴x-sin⁴x=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)=1×cos2x=cos2x。
238解答题
已知 sin2α=3/5，α 为锐角，求 sinα+cosα 的值。
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答案2√10/5
分值：10 分
解析反过来用平方套路：(sinα+cosα)²=1+sin2α=8/5；锐角保证和为正，开方取正值，分母有理化成 2√10/5
参考答案(sinα+cosα)²=sin²α+cos²α+2sinαcosα=1+sin2α=8/5；α 为锐角则 sinα+cosα>0，所以 sinα+cosα=√(8/5)=2√10/5。
239解答题
求函数 y=3sinx+4cosx+1 的最大值和最小值。
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答案最大值 6，最小值 -4
分值：10 分
解析辅助角化成 5sin(x+φ)+1，常数 1 不影响化简；最大值是系数加常数 5+1=6，最小值是 -5+1=-4
参考答案y=5sin(x+φ)+1（tanφ=4/3），最大值 5+1=6，最小值 -5+1=-4。
240解答题
已知 sinα-cosα=√2/3，求 sin2α 的值。
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答案7/9
分值：10 分
解析平方套路：(sinα-cosα)²=1-2sinαcosα=1-sin2α=2/9，解得 sin2α=7/9；注意这里是减号，出来的是 1-sin2α
参考答案(sinα-cosα)²=2/9，即 1-2sinαcosα=2/9，得 1-sin2α=2/9，所以 sin2α=7/9。
241选择题
△ABC 中，A=30°，B=45°，a=2，则 b=（ ）
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答案C．2√2
解析两角一边用正弦定理列比例 a/sinA=b/sinB，交叉相乘得 b=a·sinB/sinA=2×(√2/2)/(1/2)=2√2。注意是 b=a·sinB/sinA，不是反过来；sin45°=√2/2 别记成 1/2。
242选择题
△ABC 中，A=45°，B=60°，a=4，则 b=（ ）
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答案B．2√6
解析正弦定理 b=a·sinB/sinA=4×(√3/2)/(√2/2)=4√3/√2=2√6。分母 √2 要化简到分子里，4√3/√2=4√6/2=2√6。
243选择题
△ABC 中，A=30°，B=60°，a=3，则 c=（ ）
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答案C．6
解析先求第三个角 C=180°−30°−60°=90°，再用正弦定理 c=a·sinC/sinA=3×1/(1/2)=6。别直接拿 a 和 c 比，要先把 C 算出来。
244选择题
△ABC 中，A=30°，B=120°，a=2，则 b=（ ）
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答案C．2√3
解析钝角一样用正弦定理：b=a·sinB/sinA=2×sin120°/sin30°=2×(√3/2)/(1/2)=2√3。记住 sin120°=sin60°=√3/2。
245选择题
△ABC 中，A=45°，B=30°，b=√2，则 a=（ ）
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答案C．2
解析正弦定理 a=b·sinA/sinB=√2×(√2/2)/(1/2)=2。看清已知的是 b、求的是 a，别把分子分母写反。
246选择题
△ABC 中，A=60°，C=45°，a=3，则 c=（ ）
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答案B．√6
解析c=a·sinC/sinA=3×(√2/2)/(√3/2)=3√2/√3=√6。√2/√3=√6/3，3×√6/3=√6。
247选择题
△ABC 中，B=45°，C=60°，b=6，则 c=（ ）
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答案B．3√6
解析c=b·sinC/sinB=6×(√3/2)/(√2/2)=6√3/√2=3√6。6√3/√2 分子分母同乘 √2 得 6√6/2=3√6。
248选择题
△ABC 中，A=30°，C=45°，c=4，则 a=（ ）
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答案B．2√2
解析a=c·sinA/sinC=4×(1/2)/(√2/2)=2/(√2/2)=2√2。
249选择题
△ABC 中，A=90°，B=45°，a=2，则 b=（ ）
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答案B．√2
解析b=a·sinB/sinA=2×(√2/2)/1=√2。直角三角形里正弦定理照样用，sin90°=1。
250选择题
△ABC 中，B=60°，C=30°，c=1，则 b=（ ）
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答案B．√3
解析b=c·sinB/sinC=1×(√3/2)/(1/2)=√3。这就是 30°−60°−90° 的三角形，三边比 1:√3:2。
251选择题
△ABC 中，A=120°，B=30°，a=6，则 b=（ ）
查看答案与解析
答案C．2√3
解析先求 C=180°−120°−30°=30°，b=a·sinB/sinA=6×(1/2)/(√3/2)=6/√3=2√3。
252选择题
△ABC 中，A=60°，B=90°，b=4，则 a=（ ）
查看答案与解析
答案B．2√3
解析a=b·sinA/sinB=4×(√3/2)/1=2√3。B 是直角，b 就是斜边。
253选择题
△ABC 中，A=45°，a=2，b=√2，则 B=（ ）
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答案A．30°
解析正弦定理 sinB=b·sinA/a=√2×(√2/2)/2=1/2，B=30°或150°；但 A=45°，若 B=150° 则 A+B=195°>180° 不可能，舍去，故 B=30°。
254选择题
△ABC 中，A=60°，a=3，b=√6，则 B=（ ）
查看答案与解析
答案B．45°
解析sinB=b·sinA/a=√6×(√3/2)/3=√18/6=√2/2，B=45°或135°；A=60° 时 B=135° 会使 A+B=195°>180°，舍去，故 B=45°。
255选择题
△ABC 中，A=90°，a=2，b=1，则 B=（ ）
查看答案与解析
答案A．30°
解析sinB=b·sinA/a=1×1/2=1/2，B=30°（A 已是 90°，B 不可能是钝角）。大边对大角，a 是斜边最大，B 只能是锐角。
256选择题
△ABC 中，A=45°，a=√2，c=1，则 C=（ ）
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答案B．30°
解析sinC=c·sinA/a=1×(√2/2)/√2=1/2，C=30°或150°；A=45° 时 C=150° 会使 A+C>180°，舍去，故 C=30°。
257选择题
△ABC 中，B=90°，b=2，c=√3，则 C=（ ）
查看答案与解析
答案C．60°
解析sinC=c·sinB/b=√3×1/2=√3/2，B 是直角 C 只能是锐角，故 C=60°。
258选择题
△ABC 中，A=30°，a=1，b=2，则 B=（ ）
查看答案与解析
答案C．90°
解析sinB=b·sinA/a=2×(1/2)/1=1，B=90°。sinB=1 时只有一解，别硬凑 30°。
259选择题
△ABC 中，C=90°，c=4，a=2，则 A=（ ）
查看答案与解析
答案A．30°
解析sinA=a·sinC/c=2×1/4=1/2，C 是直角 A 只能是锐角，故 A=30°。
260选择题
△ABC 中，A=60°，a=2√3，b=2，则 B=（ ）
查看答案与解析
答案A．30°
解析sinB=b·sinA/a=2×(√3/2)/(2√3)=1/2，B=30°或150°；A=60° 时 B=150° 会使 A+B=210°>180°，舍去，故 B=30°。
261选择题
△ABC 中，a=2，b=2√2，A=30°，则 B=（ ）
A45°
B135°
C45°或135°
D60°或120°
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答案C．45°或135°
解析重点易错题！sinB=b·sinA/a=2√2×(1/2)/2=√2/2。sinB=√2/2 在 0°～180° 内对应两个角：45° 和 135°，且两个都满足 A+B<180°，所以 B 有两解。只写 45° 就掉坑了。
262选择题
△ABC 中，a=2，c=2√3，A=30°，则 C=（ ）
A60°
B120°
C60°或120°
D45°或135°
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答案C．60°或120°
解析sinC=c·sinA/a=2√3×(1/2)/2=√3/2，C=60°或120°，两个都满足 A+C<180°，故两解。
263选择题
△ABC 中，a=4，b=4√2，A=30°，则 B=（ ）
A45°或135°
B45°
C135°
D30°或150°
查看答案与解析
答案A．45°或135°
解析sinB=4√2×(1/2)/4=√2/2，B=45°或135° 都成立。干扰项 30°或150° 是把 sinB 的值 √2/2 误记成 1/2 的结果。
264选择题
△ABC 中，a=3，b=3√3，A=30°，则 B=（ ）
A60°或120°
B60°
C120°
D30°或150°
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答案A．60°或120°
解析sinB=3√3×(1/2)/3=√3/2，B=60°或120°，两个都满足 A+B<180°，故两解。只写一个就错。
265选择题
△ABC 中，b=2，c=2√2，B=30°，则 C=（ ）
A45°
B135°
C45°或135°
D60°或120°
查看答案与解析
答案C．45°或135°
解析sinC=c·sinB/b=2√2×(1/2)/2=√2/2，C=45°或135°，两个都满足 B+C<180°，故两解。
266选择题
△ABC 中，a=√2，b=2，A=30°，则 B=（ ）
A45°或135°
B45°
C135°
D30°
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答案A．45°或135°
解析sinB=b·sinA/a=2×(1/2)/√2=1/√2=√2/2，B=45°或135°。注意 a 比 b 小，所以 B 可以是钝角，别用"大边对大角"误判。
267选择题
△ABC 中，a=1，b=√3，A=30°，则 B=（ ）
A30°
B60°或120°
C60°
D120°
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答案B．60°或120°
解析sinB=√3×(1/2)/1=√3/2，B=60°或120° 都成立。选 60° 或只选 120° 都是漏解。
268选择题
△ABC 中，a=√6，b=2√3，A=45°，则 B=（ ）
A45°
B135°
C45°或135°
D30°或150°
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答案A．45°
解析陷阱题！sinB=b·sinA/a=2√3×(√2/2)/√6=√2/2，算出来 B=45°或135°。但 B=135° 时 A+B=45°+135°=180°，C 就成 0° 了，不可能，故舍去，B=45° 唯一。多解题一定要回头检验内角和。
269选择题
△ABC 中，a=2，b=3，A=30°，则角 B 的解的个数是（ ）
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答案C．2
解析sinB=b·sinA/a=3×(1/2)/2=3/4<1，方程 sinB=3/4 在 0°～180° 内有两个解，且两个都满足 A+B<180°，故 B 有两解。
270选择题
△ABC 中，a=1，b=3，A=30°，则角 B 的解的个数是（ ）
查看答案与解析
答案A．0
解析sinB=b·sinA/a=3×(1/2)/1=3/2>1，正弦值不可能超过 1，故无解。这种"两边一对角"也可能一个解都没有。
271选择题
△ABC 中，a=2，A=30°，则△ABC 外接圆的半径 R=（ ）
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答案B．2
解析正弦定理 a/sinA=2R，所以 2R=2/(1/2)=4，R=2。注意是 a/sinA 等于直径 2R，别把 2R 当成 R，选 4 就错了。
272选择题
△ABC 中，b=2√3，B=60°，则△ABC 外接圆的半径 R=（ ）
查看答案与解析
答案B．2
解析2R=b/sinB=2√3/(√3/2)=4，R=2。
273选择题
△ABC 中，c=√2，C=45°，则△ABC 外接圆的半径 R=（ ）
查看答案与解析
答案A．1
解析2R=c/sinC=√2/(√2/2)=2，R=1。
274选择题
△ABC 中，a=6，A=60°，则△ABC 外接圆的半径 R=（ ）
查看答案与解析
答案B．2√3
解析2R=a/sinA=6/(√3/2)=12/√3=4√3，R=2√3。12/√3 分母有理化得 4√3。
275选择题
△ABC 中，b=4，B=90°，则△ABC 外接圆的直径 2R=（ ）
查看答案与解析
答案C．4
解析2R=b/sinB=4/1=4。直角所对的边就是外接圆的直径，这题直接看出答案是 4。
276选择题
△ABC 中，a=3，A=30°，则△ABC 外接圆的半径 R=（ ）
查看答案与解析
答案B．3
解析2R=3/(1/2)=6，R=3。1.5 是把 a/sinA 直接当成 R、漏了除以 2 的错误。
277选择题
△ABC 中，a=3，b=4，C=60°，则 c=（ ）
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答案B．√13
解析两边夹角用余弦定理：c²=a²+b²−2ab·cosC=9+16−2×3×4×(1/2)=13，c=√13。注意是减 2ab·cosC，符号写成加就错了；√13 别误算成 5。
278选择题
△ABC 中，a=2，b=3，C=120°，则 c=（ ）
查看答案与解析
答案C．√19
解析c²=4+9−2×2×3×cos120°=13−12×(−1/2)=19，c=√19。cos120°=−1/2，负负得正，减去一个负数等于加上，符号搞错就选 √13 了。
279选择题
△ABC 中，a=1，b=2，C=60°，则 c=（ ）
查看答案与解析
答案C．√3
解析c²=1+4−2×1×2×(1/2)=3，c=√3。
280选择题
△ABC 中，a=4，b=5，C=90°，则 c=（ ）
查看答案与解析
答案B．√41
解析c²=16+25−2×4×5×cos90°=41−0=41，c=√41。cos90°=0，最后一项直接消失；9 是忘了开方的错误。
281选择题
△ABC 中，a=3，c=4，B=60°，则 b=（ ）
查看答案与解析
答案B．√13
解析看清求的是 b，用含 B 的形式：b²=a²+c²−2ac·cosB=9+16−2×3×4×(1/2)=13，b=√13。
282选择题
△ABC 中，a=5，b=6，C=60°，则 c=（ ）
查看答案与解析
答案B．√31
解析c²=25+36−2×5×6×(1/2)=61−30=31，c=√31。2ab·cosC=30 不是 60，系数别算错；√61 是符号写成加的错误。
283选择题
△ABC 中，a=2，b=2，C=120°，则 c=（ ）
查看答案与解析
答案C．2√3
解析c²=4+4−2×2×2×(−1/2)=8+4=12，c=2√3。√12=2√3，别直接写 √12。
284选择题
△ABC 中，a=3，b=5，C=90°，则 c=（ ）
查看答案与解析
答案B．√34
解析c²=9+25−0=34，c=√34。直角时余弦定理退化成勾股定理。
285选择题
△ABC 中，b=4，c=6，A=60°，则 a=（ ）
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答案B．2√7
解析a²=b²+c²−2bc·cosA=16+36−2×4×6×(1/2)=52−24=28，a=2√7。求 a 就用带 A 的式子，别把边代错位置。
286选择题
△ABC 中，a=4，c=5，B=120°，则 b=（ ）
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答案C．√61
解析b²=16+25−2×4×5×(−1/2)=41+20=61，b=√61。cos120° 是负的，减负得加。
287选择题
△ABC 中，a=2，c=3，B=90°，则 b=（ ）
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答案B．√13
解析b²=4+9−0=13，b=√13。
288选择题
△ABC 中，a=4，b=4，C=60°，则 c=（ ）
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答案A．4
解析c²=16+16−2×4×4×(1/2)=32−16=16，c=4。其实两边相等夹角 60° 就是等边三角形，c=a=4。
289选择题
△ABC 中，a=6，b=8，C=60°，则 c=（ ）
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答案B．2√13
解析c²=36+64−2×6×8×(1/2)=100−48=52=4×13，c=2√13。
290选择题
△ABC 中，a=3，c=3，B=120°，则 b=（ ）
查看答案与解析
答案B．3√3
解析b²=9+9−2×3×3×(−1/2)=18+9=27，b=3√3。
291选择题
△ABC 中，a=3，b=4，c=5，则 C=（ ）
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答案B．90°
解析已知三边求角用余弦定理：cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)=(9+16−25)/24=0，C=90°。其实 3−4−5 就是勾股数。
292选择题
△ABC 中，a=2，b=2，c=2√3，则 C=（ ）
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答案C．120°
解析cosC=(4+4−12)/(2×2×2)=−4/8=−1/2，C=120°。余弦值是负的，角就是钝角。
293选择题
△ABC 中，a=5，b=5，c=8，则最大角的余弦值是（ ）
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答案B．−7/25
解析最大边是 c=8，它对的角最大：cosC=(25+25−64)/(2×5×5)=−14/50=−7/25。求最大角就找最大边，别拿 a 或 b 去算。
294选择题
△ABC 中，a=3，b=4，c=√13，则 C=（ ）
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答案B．60°
解析cosC=(9+16−13)/(2×3×4)=12/24=1/2，C=60°。
295选择题
△ABC 中，a=5，b=7，c=8，则角 C 的余弦值是（ ）
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答案A．1/7
解析cosC=(25+49−64)/(2×5×7)=10/70=1/7。分子 25+49−64=10，分母 70，约分得 1/7。
296选择题
△ABC 中，a=4，b=4，c=4，则 A=（ ）
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答案C．60°
解析三边相等是等边三角形，每个角都是 60°。用余弦定理验算：cosA=(16+16−16)/32=1/2，A=60°。
297选择题
△ABC 中，a=2，b=3，c=√7，则 C=（ ）
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答案B．60°
解析cosC=(4+9−7)/(2×2×3)=6/12=1/2，C=60°。
298选择题
△ABC 中，a=1，b=1，c=√3，则 C=（ ）
查看答案与解析
答案C．120°
解析cosC=(1+1−3)/(2×1×1)=−1/2，C=120°。
299选择题
△ABC 中，a=2，b=4，c=2√3，则 C=（ ）
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答案B．60°
解析cosC=(4+16−12)/(2×2×4)=8/16=1/2，C=60°。c²=(2√3)²=12，别算成 4√3。
300选择题
△ABC 中，a=5，b=12，c=13，则△ABC 是（ ）
A锐角三角形
B直角三角形
C钝角三角形
D无法判断
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答案B．直角三角形
解析最大边 c=13，c²=169，a²+b²=25+144=169，相等，所以是直角三角形。5−12−13 是常见勾股数。
301选择题
△ABC 中，a=3，b=4，c=6，则△ABC 是（ ）
A锐角三角形
B直角三角形
C钝角三角形
D等边三角形
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答案C．钝角三角形
解析判断形状看最大边：c²=36，a²+b²=9+16=25，36>25，最大角是钝角，故为钝角三角形。记住比的是最大边的平方和另两边平方和。
302选择题
△ABC 中，a=5，b=12，c=13，则△ABC 是（ ）
A锐角三角形
B直角三角形
C钝角三角形
D等腰三角形
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答案B．直角三角形
解析c²=169=a²+b²=25+144，最大角是直角，故为直角三角形。
303选择题
△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则△ABC 是（ ）
A锐角三角形
B直角三角形
C钝角三角形
D等腰三角形
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答案A．锐角三角形
解析c²=36，a²+b²=16+25=41，36<41，最大角是锐角，故为锐角三角形。最大角是锐角则三个角都是锐角。
304选择题
△ABC 中，a=2，b=3，c=4，则△ABC 是（ ）
A锐角三角形
B直角三角形
C钝角三角形
D等边三角形
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答案C．钝角三角形
解析c²=16，a²+b²=4+9=13，16>13，最大角是钝角，故为钝角三角形。
305选择题
△ABC 中，a=7，b=8，c=9，则△ABC 是（ ）
A锐角三角形
B直角三角形
C钝角三角形
D等腰三角形
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答案A．锐角三角形
解析c²=81，a²+b²=49+64=113，81<113，最大角是锐角，故为锐角三角形。
306选择题
△ABC 中，a=6，b=8，c=10，则△ABC 是（ ）
A锐角三角形
B直角三角形
C钝角三角形
D等腰三角形
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答案B．直角三角形
解析c²=100=a²+b²=36+64，最大角是直角，故为直角三角形。6−8−10 是 3−4−5 的两倍。
307选择题
△ABC 中，a=3，b=5，c=7，则△ABC 是（ ）
A锐角三角形
B直角三角形
C钝角三角形
D等腰三角形
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答案C．钝角三角形
解析c²=49，a²+b²=9+25=34，49>34，最大角是钝角，故为钝角三角形。别拿最小边去比，比较对象是最大边。
308选择题
△ABC 中，a=2，b=2，c=3，则△ABC 是（ ）
A钝角三角形
B锐角三角形
C直角三角形
D等腰直角三角形
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答案A．钝角三角形
解析c²=9，a²+b²=4+4=8，9>8，最大角是钝角，故为钝角三角形。等腰但不是直角，别被"等腰直角"迷惑。
309选择题
△ABC 中，a=2bsinA，则 B 的可能值是（ ）
A30°
B150°
C30°或150°
D60°或120°
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答案C．30°或150°
解析边角互化：由正弦定理 a/sinA=b/sinB=2R，把 a=2R·sinA 代入得 2R·sinA=2b·sinA，约去 2sinA 得 R=b，即 b=2R·sinB=R，sinB=1/2，B=30°或150°。两边都有 sinA 就约掉，这是边角互化的基本功。
310选择题
△ABC 中，b=2asinB，则 A 的可能值是（ ）
A30°或150°
B30°
C150°
D45°或135°
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答案A．30°或150°
解析把 b=2R·sinB 代入：2R·sinB=2a·sinB，约去 2sinB 得 R=a，即 a=2R·sinA=R，sinA=1/2，A=30°或150°。只写 30° 就漏了一解。
311选择题
△ABC 中，a=csinA，则 C=（ ）
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答案C．90°
解析正弦定理 a/sinA=c/sinC，把 a=c·sinA 代入得 c·sinA/sinA=c/sinC，即 c=c/sinC，sinC=1，C=90°。
312选择题
△ABC 中，若 sinA=2sinB，则 a=（ ）
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答案B．2b
解析边角互化的核心：边和它所对角的正弦成正比。由正弦定理 a=2R·sinA=2R·(2sinB)=2·(2R·sinB)=2b。看到“sinA 是 sinB 的几倍”，边就是同样的倍数关系。
313填空题
△ABC 中，A=30°，B=45°，a=4，则 b=____。
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答案4√2
解析b=a·sinB/sinA=4×(√2/2)/(1/2)=4√2。
314填空题
△ABC 中，A=60°，C=30°，c=2，则 a=____。
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答案2√3
解析a=c·sinA/sinC=2×(√3/2)/(1/2)=2√3。
315填空题
△ABC 中，B=90°，C=45°，c=3，则 b=____。
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答案3√2
解析b=c·sinB/sinC=3×1/(√2/2)=3√2。
316填空题
△ABC 中，A=120°，C=30°，a=9，则 c=____。
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答案3√3
解析c=a·sinC/sinA=9×(1/2)/(√3/2)=9/√3=3√3。分母 √3 有理化：9√3/3=3√3。
317填空题
△ABC 中，A=45°，B=60°，b=3，则 a=____。
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答案√6
解析a=b·sinA/sinB=3×(√2/2)/(√3/2)=3√2/√3=√6。
318填空题
△ABC 中，a=2，b=√2，A=45°，则 B=____。
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答案30°
解析sinB=b·sinA/a=√2×(√2/2)/2=1/2，B=30°或150°；A=45° 时 B=150° 会使 A+B>180°，舍去，故 B=30°。
319填空题
△ABC 中，B=90°，b=4，c=2，则 C=____。
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答案30°
解析sinC=c·sinB/b=2×1/4=1/2，B 是直角 C 只能是锐角，故 C=30°。
320填空题
△ABC 中，a=√2，c=1，A=45°，则 C=____。
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答案30°
解析sinC=c·sinA/a=1×(√2/2)/√2=1/2，C=30°或150°；A=45° 时 C=150° 会使 A+C>180°，舍去，故 C=30°。
321填空题
△ABC 中，A=90°，a=4，b=2√2，则 B=____。
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答案45°
解析sinB=b·sinA/a=2√2×1/4=√2/2，A 是直角 B 只能是锐角，故 B=45°。
322填空题
△ABC 中，B=60°，b=3，c=√3，则 C=____。
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答案30°
解析sinC=c·sinB/b=√3×(√3/2)/3=3/6=1/2，C=30°或150°；B=60° 时 C=150° 会使 B+C>180°，舍去，故 C=30°。
323填空题
△ABC 中，a=2，b=2√2，A=30°，则 B=____。
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答案45°或135°
解析sinB=b·sinA/a=√2/2，在 0°～180° 内对应 45° 和 135°，两个都满足 A+B<180°，故 B 有两解。只写一个就是漏解，这是本章最易错的点。
324填空题
△ABC 中，a=3，b=3√3，A=30°，则 B=____。
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答案60°或120°
解析sinB=3√3×(1/2)/3=√3/2，B=60°或120°，两个都满足 A+B<180°，故两解。
325填空题
△ABC 中，a=4，c=4√3，A=30°，则 C=____。
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答案60°或120°
解析sinC=c·sinA/a=4√3×(1/2)/4=√3/2，C=60°或120°，两个都满足 A+C<180°，故两解。
326填空题
△ABC 中，a=√2，b=2，A=30°，则 B=____。
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答案45°或135°
解析sinB=2×(1/2)/√2=√2/2，B=45°或135°。a<b，所以 B 可以是钝角，别误判。
327填空题
△ABC 中，a=5，b=4，A=30°，则角 B 有____个解。
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答案2
解析sinB=b·sinA/a=4×(1/2)/5=2/5<1，方程 sinB=2/5 在 0°～180° 内有两个解，且都满足 A+B<180°，故 B 有 2 个解。
328填空题
△ABC 中，a=4，A=30°，则△ABC 外接圆的半径 R=____。
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答案4
解析a/sinA=2R，2R=4/(1/2)=8，R=4。别把 2R 的值直接当答案。
329填空题
△ABC 中，b=3√3，B=60°，则△ABC 外接圆的半径 R=____。
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答案3
解析2R=b/sinB=3√3/(√3/2)=6，R=3。
330填空题
△ABC 中，c=2√2，C=135°，则△ABC 外接圆的半径 R=____。
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答案2
解析2R=c/sinC=2√2/sin135°=2√2/(√2/2)=4，R=2。记住 sin135°=sin45°=√2/2。
331填空题
△ABC 中，a=5，b=5，C=60°，则 c=____。
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答案5
解析c²=25+25−2×5×5×(1/2)=50−25=25，c=5。两边相等夹角 60° 是等边三角形。
332填空题
△ABC 中，a=2，b=3，C=90°，则 c=____。
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答案√13
解析c²=4+9−0=13，c=√13。cos90°=0，最后一项消失。
333填空题
△ABC 中，a=4，b=6，C=120°，则 c=____。
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答案2√19
解析c²=16+36−2×4×6×(−1/2)=52+24=76=4×19，c=2√19。cos120° 是负的，减负得加。
334填空题
△ABC 中，b=3，c=4，A=90°，则 a=____。
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答案5
解析a²=9+16−0=25，a=5。3−4−5 勾股数。
335填空题
△ABC 中，a=3，b=3，C=120°，则 c=____。
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答案3√3
解析c²=9+9−2×3×3×(−1/2)=18+9=27，c=3√3。
336填空题
△ABC 中，a=2，b=5，C=60°，则 c=____。
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答案√19
解析c²=4+25−2×2×5×(1/2)=29−10=19，c=√19。2ab·cosC=10 不是 20，别把系数算错。
337填空题
△ABC 中，a=6，b=8，c=10，则 C=____。
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答案90°
解析cosC=(36+64−100)/(2×6×8)=0，C=90°。
338填空题
△ABC 中，a=2，b=2，c=2√3，则 C=____。
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答案120°
解析cosC=(4+4−12)/8=−1/2，C=120°。
339填空题
△ABC 中，a=4，b=6，c=8，则最大角的余弦值是____。
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答案-1/4
解析最大边是 c=8：cosC=(16+36−64)/(2×4×6)=−12/48=−1/4。余弦值是负的，说明最大角是钝角。
340填空题
△ABC 中，a=5，b=5，c=5√2，则 C=____。
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答案90°
解析cosC=(25+25−50)/50=0，C=90°。这是等腰直角三角形。
341填空题
△ABC 中，a=4，b=6，c=8，则△ABC 是____。
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答案钝角三角形
解析最大边 c=8，c²=64，a²+b²=16+36=52，64>52，最大角是钝角，故为钝角三角形。
342填空题
△ABC 中，a=5，b=5，c=6，则△ABC 是____。
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答案锐角三角形
解析最大边 c=6，c²=36，a²+b²=25+25=50，36<50，最大角是锐角，故为锐角三角形。
343解答题
△ABC 中，a=2，b=2√3，A=30°，求角 B。
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答案B=60°或120°
分值：10 分
解析两边一对角求角，先用正弦定理算出 sinB=√3/2，再想 sinB 在 0°～180° 内对应两个角 60° 和 120°，最后回头检验 A+B<180°，两个都过关，所以是两解。
参考答案解：由正弦定理 a/sinA=b/sinB，得 sinB=b·sinA/a=2√3×(1/2)/2=√3/2。因为 0°<B<180°，所以 B=60°或120°。检验：A=30° 时，A+B=90° 或 150°，都小于 180°，两个解都成立。
344解答题
△ABC 中，b=2√2，c=4，B=30°，求角 C。
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答案C=45°或135°
分值：10 分
解析思路同上：先算 sinC=√2/2，再写出 45° 和 135° 两个候选，最后检验 B+C<180° 都成立，故两解。
参考答案解：由正弦定理 b/sinB=c/sinC，得 sinC=c·sinB/b=4×(1/2)/(2√2)=2/(2√2)=√2/2。因为 0°<C<180°，所以 C=45°或135°。检验：B=30° 时，B+C=75° 或 165°，都小于 180°，两个解都成立。
345解答题
△ABC 中，a=2，b=5，A=30°，判断角 B 有几个解，并说明理由。
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答案无解
分值：10 分
解析先别急着写两解！算出 sinB=5/4 超过了 1，正弦值最大就是 1，所以根本没有这样的三角形，无解。做"两边一对角"题第一步永远是看 sin 值合不合理。
参考答案解：由正弦定理得 sinB=b·sinA/a=5×(1/2)/2=5/4。因为 5/4>1，而正弦值不可能超过 1，所以这样的角 B 不存在，即无解。
346解答题
△ABC 中，a=4，b=7，C=60°，求边 c。
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答案c=√37
分值：10 分
解析两边夹角求第三边，直接套余弦定理：c²=16+49−28=37，开方得 √37。注意 2ab·cosC=28 是减去的，符号别写反。
参考答案解：由余弦定理 c²=a²+b²−2ab·cosC=16+49−2×4×7×(1/2)=65−28=37，所以 c=√37。
347解答题
△ABC 中，a=3，b=8，C=120°，求边 c。
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答案c=√97
分值：10 分
解析钝角的余弦是负数：cos120°=−1/2，所以 −2ab·cosC=−48×(−1/2)=+24，是加上 24，不是减去，c²=73+24=97。
参考答案解：由余弦定理 c²=a²+b²−2ab·cosC=9+64−2×3×8×(−1/2)=73+24=97，所以 c=√97。
348解答题
△ABC 中，a=5，b=7，c=8，求角 B 的余弦值。
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答案cosB=4/7
分值：10 分
解析已知三边求角：cosB=(a²+c²−b²)/(2ac)，分子是"夹角两边平方和减对边平方"，分母是 2 乘夹角两边。算得 40/80=1/2。注意求 B 就用含 B 的式子，边别代错位。
参考答案解：由余弦定理 cosB=(a²+c²−b²)/(2ac)=(25+64−49)/(2×5×8)=40/80=1/2。所以 cosB=1/2，B=60°。
349解答题
△ABC 的三边长为 5，6，9，判断△ABC 的形状。
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答案钝角三角形
分值：10 分
解析判断形状只看最大边：最大边平方 > 另两边平方和→钝角三角形；=→直角；<→锐角。这里 81>61，所以是钝角三角形。
参考答案解：最大边是 9。9²=81，5²+6²=25+36=61。因为 81>61，即最大边的平方大于另两边平方和，所以最大角是钝角，△ABC 是钝角三角形。
350解答题
△ABC 的三边长为 3，4，5，判断△ABC 的形状。
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答案直角三角形
分值：10 分
解析3−4−5 是最经典的勾股数：25=9+16，最大角是直角。
参考答案解：最大边是 5。5²=25，3²+4²=9+16=25。因为 25=25，即最大边的平方等于另两边平方和，所以最大角是直角，△ABC 是直角三角形。
351解答题
△ABC 中，a=2bsinA，求角 B。
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答案B=30°或150°
分值：10 分
解析边角互化入门：把 a、b 都换成 2R·sinA、2R·sinB，式子两边都有 sinA，直接约掉，剩下 sinB=1/2，B=30°或150°。记住"边换成 2R 乘正弦"这一招。
参考答案解：由正弦定理 a=2R·sinA，b=2R·sinB。代入 a=2bsinA 得 2R·sinA=2·(2R·sinB)·sinA，即 2R·sinA=4R·sinB·sinA。两边约去 2R·sinA（sinA>0），得 1=2sinB，sinB=1/2。因为 0°<B<180°，所以 B=30°或150°。
352解答题
△ABC 中，acosB=bcosA，判断△ABC 的形状。
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答案等腰三角形
分值：10 分
解析边角互化：两边都换成 2R 乘正弦，约去 2R 得 sinAcosB=sinBcosA，移项用两角差的正弦公式得 sin(A−B)=0，所以 A=B，是等腰三角形。
参考答案解：由正弦定理 a=2R·sinA，b=2R·sinB，代入得 2R·sinA·cosB=2R·sinB·cosA，即 sinAcosB=cosAsinB。移项得 sinAcosB−cosAsinB=0，即 sin(A−B)=0。因为 A、B 是三角形内角，−180°<A−B<180°，所以 A−B=0，即 A=B。故△ABC 是等腰三角形。
353解答题
△ABC 中，A=30°，B=45°，a=2，求外接圆半径 R 和边 b。
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答案R=2，b=2√2
分值：10 分
解析先由 a 和 A 求出 2R=4，R=2；再用同一个 2R 求 b=4·sin45°=2√2。一道题里 2R 是桥梁，算出来后面都能用。
参考答案解：由正弦定理 a/sinA=2R，得 2R=2/sin30°=2/(1/2)=4，所以 R=2。又 b/sinB=2R，得 b=2R·sinB=4×(√2/2)=2√2。
354解答题
△ABC 中，a=6，b=8，C=60°，求边 c。
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答案c=2√13
分值：10 分
解析c²=100−48=52，√52=√(4×13)=2√13。开方后记得化简，把平方因子提出来。
参考答案解：由余弦定理 c²=a²+b²−2ab·cosC=36+64−2×6×8×(1/2)=100−48=52=4×13，所以 c=2√13。
355解答题
△ABC 中，A=60°，B=45°，a=√3，求边 b。
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答案b=√2
分值：10 分
解析b=√3·sin45°/sin60°，分子分母的 √3 约掉，直接得 √2。
参考答案解：由正弦定理 a/sinA=b/sinB，得 b=a·sinB/sinA=√3×(√2/2)/(√3/2)=√2。
356解答题
△ABC 中，a=1，b=√3，c=2，求△ABC 的最大角。
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答案最大角是 C=90°
分值：10 分
解析最大边对最大角：先找最大边 c=2，算 cosC=0，得 C=90°。分子 1+3−4=0，一眼看出是直角。
参考答案解：最大边是 c=2。cosC=(a²+b²−c²)/(2ab)=(1+3−4)/(2×1×√3)=0，所以 C=90°。C 是最大边所对的角，即为最大角。
357解答题
△ABC 中，a=2√3，A=60°，求△ABC 外接圆的半径 R。
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答案R=2
分值：10 分
解析2R=a/sinA=2√3/(√3/2)=4，R=2。√3 约掉了，答案很干净。
参考答案解：由正弦定理 a/sinA=2R，得 2R=2√3/sin60°=2√3/(√3/2)=4，所以 R=2。
358解答题
△ABC 的三边长为 7，8，9，判断△ABC 的形状，并求最大角的余弦值。
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答案锐角三角形，最大角的余弦值为15/56
分值：10 分
解析先判断形状：81<113，最大角是锐角→锐角三角形；再用余弦定理求最大角的余弦：(49+64−81)/112=30/112，约分得 15/56。
参考答案解：最大边是 9。9²=81，7²+8²=49+64=113。因为 81<113，最大角是锐角，所以△ABC 是锐角三角形。最大角是 C，cosC=(7²+8²−9²)/(2×7×8)=(49+64−81)/112=30/112=15/56。
359解答题
△ABC 中，b=2asinB，求角 A。
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答案A=30°或150°
分值：10 分
解析把 b、a 换成 2R·sinB、2R·sinA，两边都有 sinB，约掉后得 sinA=1/2，A=30°或150°。和上一题是镜像题，思路一模一样。
参考答案解：由正弦定理 b=2R·sinB，a=2R·sinA。代入 b=2asinB 得 2R·sinB=2·(2R·sinA)·sinB，即 2R·sinB=4R·sinA·sinB。两边约去 2R·sinB（sinB>0），得 1=2sinA，sinA=1/2。因为 0°<A<180°，所以 A=30°或150°。
360解答题
△ABC 中，a=2，b=2√2，A=30°，求角 B 与边 c。
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答案B=45°或135°，c=√6+√2或√6−√2
分值：10 分
解析综合题：先由正弦定理得 B 两解 45° 或 135°；再分别求 C（105° 或 15°），用正弦定理求 c=4sinC。sin105° 和 sin15° 用 60°±45° 展开：sin105°=(√6+√2)/4，sin15°=(√6−√2)/4，所以 c=√6+√2 或 √6−√2。B 有两解，c 也跟着有两解，别漏了。
参考答案解：由正弦定理 sinB=b·sinA/a=2√2×(1/2)/2=√2/2，得 B=45°或135°（都满足 A+B<180°）。当 B=45° 时，C=180°−30°−45°=105°，c=a·sinC/sinA=2·sin105°/(1/2)=4sin105°。sin105°=sin(60°+45°)=sin60°cos45°+cos60°sin45°=(√6+√2)/4，所以 c=√6+√2。当 B=135° 时，C=180°−30°−135°=15°，c=4sin15°。sin15°=sin(60°−45°)=sin60°cos45°−cos60°sin45°=(√6−√2)/4，所以 c=√6−√2。
361选择题
△ABC中，a=4，b=5，C=30°，则△ABC的面积为（ ）
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答案B．5
解析面积公式 S=(1/2)absinC，对准两边和夹角直接代入：(1/2)×4×5×sin30°=(1/2)×4×5×(1/2)=5。漏掉 1/2 就会错选 10。
362选择题
△ABC中，a=6，b=8，C=60°，则△ABC的面积为（ ）
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答案A．12√3
解析S=(1/2)×6×8×sin60°=24×(√3/2)=12√3。注意是 sinC 不是 cosC，用 cos60°=1/2 会错得 12。
363选择题
△ABC中，a=10，b=6，C=90°，则△ABC的面积为（ ）
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答案D．30
解析sin90°=1，S=(1/2)×10×6×1=30，其实就是直角三角形两直角边乘积的一半。
364选择题
△ABC中，a=4，b=6，C=120°，则△ABC的面积为（ ）
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答案A．6√3
解析sin120°=sin60°=√3/2，S=(1/2)×4×6×(√3/2)=6√3。钝角的正弦等于其补角的正弦。
365选择题
△ABC中，a=8，c=5，B=45°，则△ABC的面积为（ ）
查看答案与解析
答案D．10√2
解析对准两边 a、c 和夹角 B：S=(1/2)acsinB=(1/2)×8×5×(√2/2)=10√2。
366选择题
△ABC中，b=6，c=10，A=150°，则△ABC的面积为（ ）
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答案D．15
解析sin150°=sin30°=1/2，S=(1/2)×6×10×(1/2)=15。
367选择题
△ABC中，a=3，b=8，C=30°，则△ABC的面积为（ ）
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答案D．6
解析S=(1/2)×3×8×(1/2)=6。
368选择题
△ABC中，a=2，b=2，C=60°，则△ABC的面积为（ ）
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答案D．√3
解析S=(1/2)×2×2×(√3/2)=√3。漏掉 1/2 会错选 2√3；把 sin60° 当成 cos60° 会错得 1。
369选择题
△ABC中，a=2√3，b=4，C=60°，则△ABC的面积为（ ）
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答案C．6
解析S=(1/2)×2√3×4×(√3/2)=6，先约分再算更省事。
370选择题
△ABC中，a=5，b=10，C=90°，则△ABC的面积为（ ）
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答案B．25
解析S=(1/2)×5×10×1=25。
371选择题
△ABC中，a=7，b=8，C=30°，则△ABC的面积为（ ）
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答案B．14
解析S=(1/2)×7×8×(1/2)=14。
372选择题
△ABC中，a=12，b=5，C=90°，则△ABC的面积为（ ）
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答案A．30
解析S=(1/2)×12×5=30。别被数字吓到，公式代入就行。
373选择题
△ABC的面积为6，a=4，C=30°，则 b=（ ）
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答案C．6
解析6=(1/2)×4×b×(1/2)=b，所以 b=6。把面积公式倒过来用就行。
374选择题
△ABC的面积为12，a=8，C=60°，则 b=（ ）
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答案D．2√3
解析12=(1/2)×8×b×(√3/2)=2√3·b，解得 b=6/√3=2√3。
375选择题
△ABC的面积为15，b=5，A=90°，则 c=（ ）
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答案A．6
解析15=(1/2)×c×5×1，解得 c=6。
376选择题
△ABC的面积为8√3，a=8，C=60°，则 b=（ ）
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答案B．4
解析8√3=(1/2)×8×b×(√3/2)=2√3·b，解得 b=4。
377选择题
△ABC的面积为10，a=4，b=10，C为锐角，则 C=（ ）
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答案B．30°
解析10=(1/2)×4×10×sinC=20sinC，得 sinC=1/2。C 在三角形内且为锐角，所以 C=30°，150° 是钝角要舍去。
378选择题
△ABC的面积为6√3，a=4，b=6，C为锐角，则 C=（ ）
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答案A．60°
解析6√3=(1/2)×4×6×sinC=12sinC，得 sinC=√3/2，锐角则 C=60°。
379选择题
△ABC的面积为9，b=6，A=30°，则 c=（ ）
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答案C．6
解析9=(1/2)×c×6×(1/2)=(3/2)c，解得 c=6。
380选择题
△ABC的面积为16，a=8，b=8，则 sinC=（ ）
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答案A．1/2
解析16=(1/2)×8×8×sinC=32sinC，解得 sinC=1/2。
381选择题
△ABC的面积为2√3，a=4，b=2，C为锐角，则 C=（ ）
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答案A．60°
解析2√3=(1/2)×4×2×sinC=4sinC，得 sinC=√3/2，锐角则 C=60°。
382选择题
△ABC的面积为24，a=6，C=90°，则 b=（ ）
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答案B．8
解析24=(1/2)×6×b×1=3b，解得 b=8。
383选择题
在△ABC中，(a+b)/c 化成角的形式是（ ）
A(a+b)/sinC
B(sinA+sinB)/sinC
C(sinA-sinB)/sinC
DsinA+sinB
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答案B．(sinA+sinB)/sinC
解析正弦定理 a=2RsinA，分子分母的 2R 约掉，边就变成了对应的正弦：(a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC。
384选择题
在△ABC中，a:b:c=3:4:5，则 sinA:sinB:sinC=（ ）
A9:16:25
B1:1:1
C5:4:3
D3:4:5
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答案D．3:4:5
解析边和它的对角正弦成正比，边的比就是正弦的比。
385选择题
在△ABC中，a=2RsinA，若 R=2，A=30°，则 a=（ ）
查看答案与解析
答案A．2
解析a=2×2×sin30°=4×(1/2)=2。这是正弦定理的变形，记住 2R 是外接圆直径。
386选择题
在△ABC中，(a-c)/b 化成角的形式是（ ）
A(a-c)/sinB
B(sinA+sinC)/sinB
C(sinA-sinC)/b
D(sinA-sinC)/sinB
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答案D．(sinA-sinC)/sinB
解析和上一题一样，2R 约掉：(a-c)/b=(sinA-sinC)/sinB，注意分子是减号别抄错。
387选择题
在△ABC中，a/b 等于（ ）
AcosA/cosB
BsinB/sinA
CA/B
DsinA/sinB
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答案D．sinA/sinB
解析a=2RsinA，b=2RsinB，一比 2R 约掉得 sinA/sinB。
388选择题
在△ABC中，a=6，sinA=1/2，则外接圆的直径 2R=（ ）
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答案C．12
解析2R=a/sinA=6÷(1/2)=12。直径就是边除以对角的正弦。
389选择题
在△ABC中，sinA=sinB，则 a 与 b 的关系是（ ）
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答案B．a=b
解析a:b=sinA:sinB，正弦相等则边相等，所以 a=b。
390选择题
在△ABC中，(sinA+sinC)/sinB 化成边的形式是（ ）
A(a+c)/sinB
Ba+c
C(a-c)/b
D(a+c)/b
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答案D．(a+c)/b
解析反过来用：正弦换成边，2R 约掉得 (a+c)/b。
391选择题
在△ABC中，sinA:sinB=2:3，则 a:b=（ ）
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答案A．2:3
解析正弦比就是边比，直接照抄 2:3，别弄反了。
392选择题
在△ABC中，"a=2RsinA 恒成立"这句话（ ）
A正确
B只在直角三角形成立
C只在锐角三角形成立
D错误
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答案A．正确
解析这就是正弦定理本身，对任意三角形都成立。
393选择题
从地面上一点看塔顶的仰角为30°，向前走10m后看塔顶的仰角变为60°，则塔高为（ ）
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答案D．5√3m
解析画出示意图，设塔高为 h、第一次观测点到塔底为 x：tan30°=h/(x+10)，tan60°=h/x。由第二式 x=h/√3，代入第一式得 h/√3+10=√3·h，解得 h=5√3m。
394选择题
在距离旗杆底部20m处看杆顶，仰角为60°，则旗杆高为（ ）
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答案B．20√3m
解析tan60°=杆高/20，杆高=20tan60°=20√3m。一步列式：对边=邻边×tan仰角。
395选择题
在距离楼底部30m处看楼顶，仰角为45°，则楼高为（ ）
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答案D．30m
解析tan45°=1，楼高=30×1=30m。仰角45°时高度就等于水平距离。
396选择题
从塔顶看地面上一点的俯角为30°，塔高40m，则该点到塔底的水平距离为（ ）
A40√3/3m
B40√3m
C80m
D20m
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答案B．40√3m
解析俯角30°等于从该点看塔顶的仰角30°（内错角），tan30°=40/距离，距离=40/tan30°=40√3m。俯角是从上往下看的角，别画反了。
397选择题
要测河宽，在岸边A处正对对岸目标B，沿岸走100m到C处，测得∠BAC=90°、∠ACB=30°，则河宽AB为（ ）
A100√3m
B100√3/3m
C100m
D50m
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答案B．100√3/3m
解析直角三角形中 tan30°=AB/100，AB=100tan30°=100×(√3/3)=100√3/3m。
398选择题
一段斜坡长10m，坡度角为30°，则坡顶的高度为（ ）
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答案C．5m
解析高度=斜坡长×sin30°=10×(1/2)=5m，求对边用正弦。
399选择题
测山高时仰角为45°，后退20m后仰角变为30°，则山高为（ ）
A10√3m
B20(√3+1)m
C20m
D10(√3+1)m
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答案D．10(√3+1)m
解析设山高 h、第一次观测点到山脚 x：h=x（tan45°=1），h=(x+20)tan30°=(x+20)/√3。联立得 x√3=x+20，x=10(√3+1)，所以 h=10(√3+1)m。
400选择题
电线杆的拉线与地面夹角为60°，拉线长8m，则拉线固定点到杆底的距离为（ ）
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答案B．4m
解析距离=拉线长×cos60°=8×(1/2)=4m，求邻边用余弦。
401选择题
向前走50m后，看建筑顶的仰角从30°变为45°，则建筑高为（ ）
A50m
B25(√3+1)m
C50(√3+1)m
D25√3m
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答案B．25(√3+1)m
解析设高 h、近处观测点到建筑 x：h=x，h=(x+50)/√3，解得 x=25(√3+1)，h=25(√3+1)m。两次观测列两个方程是这类题的通用套路。
402选择题
从山顶看山脚下一点的俯角为45°，山高200m，则该点到山底的水平距离为（ ）
A200√3m
B200m
C100m
D100√3m
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答案B．200m
解析俯角45°对应仰角45°，tan45°=200/距离=1，距离=200m。
403选择题
看空中气球的仰角为30°，观测点到气球正下方的水平距离为60m，则气球高度为（ ）
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答案C．20√3m
解析高度=60×tan30°=60×(√3/3)=20√3m。
404选择题
一根杆子高6m，影长为6√3m，则此时太阳的仰角为（ ）
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答案C．30°
解析tan仰角=6/(6√3)=√3/3，所以仰角为30°。已知两边求角，反推回去。
405选择题
化简 sin²x+sin²(x+60°)+sin²(x-60°) 的结果是（ ）
查看答案与解析
答案B．3/2
解析把后两项用和角公式展开平方：sin²(x±60°)=(sinx/2±√3cosx/2)²=sin²x/4±(√3/2)sinxcosx+3cos²x/4，相加交叉项抵消，得 sin²x+(sin²x/2+3cos²x/2)=(3/2)(sin²x+cos²x)=3/2。经典结论，记住它。
406选择题
化简 sinxcosx 的结果是（ ）
A(1/2)cos2x
B2sin2x
C(1/2)sin2x
Dsin2x
查看答案与解析
答案C．(1/2)sin2x
解析二倍角公式 sin2x=2sinxcosx，反过来 sinxcosx=(1/2)sin2x，别丢了 1/2。
407选择题
化简 cos²x+cos²(x+60°)+cos²(x-60°) 的结果是（ ）
查看答案与解析
答案D．3/2
解析和 sin² 那道同理，cos²(x±60°)展开相加得 (3/2)(cos²x+sin²x)=3/2。
408选择题
化简 (sinx+cosx)² 的结果是（ ）
A1+sin2x
B1+cos2x
Csin2x
D1-sin2x
查看答案与解析
答案A．1+sin2x
解析展开得 sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+sin2x。
409选择题
化简 sin⁴x-cos⁴x 的结果是（ ）
查看答案与解析
答案C．-cos2x
解析平方差公式：(sin²x+cos²x)(sin²x-cos²x)=1×(sin²x-cos²x)=-cos2x。注意 sin²x-cos²x=-(cos²x-sin²x)=-cos2x，符号别反了。
410选择题
化简 (1+cos2x)/sin2x 的结果是（ ）
查看答案与解析
答案B．cotx
解析分子 1+cos2x=2cos²x，分母 sin2x=2sinxcosx，约分得 cosx/sinx=cotx。
411选择题
化简 1-2sin²15° 的结果是（ ）
查看答案与解析
答案C．√3/2
解析降幂公式反用：1-2sin²15°=cos30°=√3/2。
412选择题
化简 2cos²22.5°-1 的结果是（ ）
查看答案与解析
答案D．√2/2
解析2cos²22.5°-1=cos45°=√2/2。
413选择题
化简 sin15°cos15° 的结果是（ ）
查看答案与解析
答案B．1/4
解析sin15°cos15°=(1/2)sin30°=(1/2)×(1/2)=1/4。
414选择题
化简 (1-cos40°)/2 的结果是（ ）
Acos²20°
Bcos²40°
Csin²40°
Dsin²20°
查看答案与解析
答案D．sin²20°
解析降幂公式 (1-cos2x)/2=sin²x，这里 2x=40°，所以 x=20°，得 sin²20°。
415选择题
化简 sin²x-cos²x 的结果是（ ）
Asin2x
Bcos2x
C-cos2x
D-sin2x
查看答案与解析
答案C．-cos2x
解析cos2x=cos²x-sin²x，所以 sin²x-cos²x=-cos2x，符号是关键。
416选择题
化简 (sin2x)/(2sinx) 的结果是（ ）
查看答案与解析
答案B．cosx
解析sin2x=2sinxcosx，约掉 2sinx 得 cosx。
417选择题
已知 tanα=2，则 sin2α=（ ）
查看答案与解析
答案A．4/5
解析弦化切：sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan²α)=4/5。分子分母同除以 cos²α。
418选择题
已知 tanα=2，则 cos2α=（ ）
查看答案与解析
答案B．-3/5
解析cos2α=(1-tan²α)/(1+tan²α)=(1-4)/5=-3/5。tanα>1 时 cos2α 为负，符号别错。
419选择题
已知 tanα=1/2，则 sin2α=（ ）
查看答案与解析
答案A．4/5
解析sin2α=2tanα/(1+tan²α)=1/(5/4)=4/5。
420选择题
已知 tanα=3，则 cos2α=（ ）
查看答案与解析
答案D．-4/5
解析cos2α=(1-9)/(1+9)=-8/10=-4/5。
421选择题
已知 sinα=3/5，α为锐角，则 sin2α=（ ）
A7/25
B12/25
C24/25
D-24/25
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答案C．24/25
解析锐角则 cosα=4/5，sin2α=2×(3/5)×(4/5)=24/25。
422选择题
已知 sinα=3/5，α为锐角，则 cos2α=（ ）
查看答案与解析
答案C．7/25
解析cos2α=1-2sin²α=1-2×(9/25)=7/25。
423选择题
已知 cosα=-4/5，α为第二象限角，则 sin2α=（ ）
A7/25
B24/25
C-7/25
D-24/25
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答案D．-24/25
解析第二象限 sinα=3/5，sin2α=2×(3/5)×(-4/5)=-24/25。cosα 为负，结果也为负。
424选择题
已知 sinα+cosα=√2/2，则 sin2α=（ ）
查看答案与解析
答案B．-1/2
解析两边平方：1+2sinαcosα=1/2，即 1+sin2α=1/2，解得 sin2α=-1/2。
425选择题
sin75°=（ ）
A(√6-√2)/4
B(√6+√2)/4
C√2/4
D√6/4
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答案B．(√6+√2)/4
解析75°=45°+30°，sin75°=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4。
426选择题
已知 tanα=2，则 (sinα+cosα)/(sinα-cosα)=（ ）
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答案B．3
解析分子分母同除以 cosα 得 (tanα+1)/(tanα-1)=3/1=3。
427选择题
下列恒等式成立的是（ ）
Asin2x=2sinxcosx
Bcos2x=2sinxcosx
Ccos(x+y)=cosx+cosy
Dsin(x+y)=sinx+siny
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答案A．sin2x=2sinxcosx
解析二倍角公式 sin2x=2sinxcosx 恒成立；其余三个都是常见错误，和角的正弦余弦不能拆开相加。
428选择题
在△ABC中，下列等式成立的是（ ）
Aa+b=c
Ba/sinA=b/sinB=c
C(a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC
DsinA+sinB=sinC
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答案C．(a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC
解析由正弦定理 a=2RsinA 等代入，2R 约掉即得。注意 a/sinA=b/sinB=c 缺了分母 2R，不成立。
429选择题
"cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB"这个等式（ ）
A不成立
B只在A=B时成立
C只在锐角三角形成立
D成立
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答案D．成立
解析这就是两角和的余弦公式，恒成立。
430选择题
在△ABC中，若 sinA=sinB，则（ ）
AA=B
B无法确定
CA+B=180°
DA=2B
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答案A．A=B
解析三角形内角和小于180°，sinA=sinB 时 A+B=180° 不可能，所以只能 A=B。
431选择题
下列等式恒成立的是（ ）
Atan2x=2tanx
Bsin²x+cos²x=1
Ccos2x=2sinx
Dsin2x=sin²x+cos²x
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答案B．sin²x+cos²x=1
解析平方关系恒成立；sin2x=2sinxcosx 不是平方和，tan2x 分母还有 1-tan²x。
432选择题
"在△ABC中，(sinA+sinB)/sinC=(a+b)/c 恒成立"这句话（ ）
A只在直角三角形成立
B成立
C不成立
D只在等边三角形成立
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答案B．成立
解析正弦定理代入后 2R 约掉，恒成立。
433填空题
△ABC中，a=6，b=4，C=90°，则△ABC的面积为____。
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答案12
解析S=(1/2)×6×4×sin90°=12。
434填空题
△ABC中，a=10，c=6，B=30°，则△ABC的面积为____。
查看答案与解析
答案15
解析S=(1/2)acsinB=(1/2)×10×6×(1/2)=15，对准两边和夹角。
435填空题
△ABC中，b=8，c=8，A=60°，则△ABC的面积为____。
查看答案与解析
答案16√3
解析S=(1/2)×8×8×(√3/2)=16√3。
436填空题
△ABC中，a=4，b=4，C=120°，则△ABC的面积为____。
查看答案与解析
答案4√3
解析sin120°=√3/2，S=(1/2)×4×4×(√3/2)=4√3。
437填空题
△ABC中，a=3√2，b=6，C=45°，则△ABC的面积为____。
查看答案与解析
答案9
解析S=(1/2)×3√2×6×(√2/2)=9，根号约掉别慌。
438填空题
△ABC的面积为20，a=8，C=30°，则 b=____。
查看答案与解析
答案10
解析20=(1/2)×8×b×(1/2)=2b，解得 b=10。
439填空题
△ABC的面积为18√3，a=12，C=60°，则 b=____。
查看答案与解析
答案6
解析18√3=(1/2)×12×b×(√3/2)=3√3·b，解得 b=6。
440填空题
△ABC的面积为7，a=7，b=4，C为锐角，则 C=____°。
查看答案与解析
答案30
解析7=(1/2)×7×4×sinC=14sinC，sinC=1/2，锐角则 C=30°，只填数字。
441填空题
△ABC的面积为12，b=6，A=90°，则 c=____。
查看答案与解析
答案4
解析12=(1/2)×c×6×1=3c，解得 c=4。
442填空题
△ABC的面积为9√3，a=6，b=6，C为锐角，则 C=____°。
查看答案与解析
答案60
解析9√3=18sinC，sinC=√3/2，锐角则 C=60°。
443填空题
在△ABC中，a:b=2:5，则 sinA:sinB=____。
查看答案与解析
答案2:5
解析正弦定理：边的比就是对角正弦的比。
444填空题
在△ABC中，(b+c)/a 化成角的形式为____。
查看答案与解析
答案(sinB+sinC)/sinA
解析b=2RsinB 等代入，2R 约掉。
445填空题
在△ABC中，外接圆半径 R=3，B=90°，则 b=____。
查看答案与解析
答案6
解析b=2RsinB=6×1=6，直径所对的角是直角。
446填空题
在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4，则 a:b:c=____。
查看答案与解析
447填空题
在△ABC中，a=2RsinA，若 a=10，sinA=5/6，则外接圆直径 2R=____。
查看答案与解析
答案12
解析2R=a/sinA=10÷(5/6)=12。
448填空题
在距离电线杆10m处测得杆顶的仰角为60°，则电线杆高为____m。
查看答案与解析
答案10√3
解析杆高=10×tan60°=10√3m。
449填空题
从船上看灯塔顶的仰角为30°，船到灯塔的水平距离为50m，则灯塔高为____m。
查看答案与解析
答案50√3/3
解析灯塔高=50×tan30°=50√3/3m。
450填空题
一座楼的影长为20m，此时太阳的仰角为45°，则楼高为____m。
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答案20
解析tan45°=1，楼高=影长=20m。
451填空题
从100m高的塔顶看地面上一点的俯角为60°，则该点到塔底的水平距离为____m。
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答案100√3/3
解析俯角60°对应仰角60°，距离=100/tan60°=100√3/3m。
452填空题
一架梯子靠在墙上，与地面的夹角为60°，梯子长4m，则梯子顶端离地面的高度为____m。
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答案2√3
解析高度=4×sin60°=2√3m，求对边用正弦。
453填空题
化简：sin40°cos40°=____。
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答案(1/2)sin80°
解析sin40°cos40°=(1/2)×2sin40°cos40°=(1/2)sin80°。
454填空题
化简：1+cos100°=____。
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答案2cos²50°
解析升幂公式 1+cos2x=2cos²x，2x=100° 则 x=50°。
455填空题
化简：(sin2x)/(1+cos2x)=____。
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答案tanx
解析分子 2sinxcosx，分母 2cos²x，约分得 tanx。
456填空题
化简：cos⁴x-sin⁴x=____。
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答案cos2x
解析平方差：(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)=cos2x。
457填空题
sin²10°+sin²80°=____。
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答案1
解析sin80°=cos10°，原式=sin²10°+cos²10°=1。
458填空题
已知 tanα=1/3，则 sin2α=____。
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答案3/5
解析sin2α=2tanα/(1+tan²α)=(2/3)/(10/9)=3/5。
459填空题
已知 sinα-cosα=1/3，则 sin2α=____。
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答案8/9
解析平方得 1-sin2α=1/9，解得 sin2α=8/9。
460填空题
已知 cosα=3/5，α为锐角，则 tan2α=____。
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答案-24/7
解析sinα=4/5，tanα=4/3，tan2α=2tanα/(1-tan²α)=(8/3)/(-7/9)=-24/7。
461填空题
判断：cos2x=1-2sin²x ____（填"成立"或"不成立"）。
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答案成立
解析这是二倍角余弦公式的变形之一，恒成立。
462填空题
在△ABC中，a/sinA=2R，则 b=____。
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答案2RsinB
解析正弦定理 b=2RsinB，记住形式。
463解答题
△ABC中，a=5，b=6，C=60°，求△ABC的面积。
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答案15√3/2
分值：10 分
解析面积公式 S=(1/2)absinC，对准两边和夹角直接代入计算。
参考答案由面积公式 S=(1/2)absinC，代入得 S=(1/2)×5×6×sin60°=15×(√3/2)=15√3/2。
464解答题
△ABC中，b=10，c=12，A=150°，求△ABC的面积。
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答案30
分值：10 分
解析先把钝角的正弦换成锐角的正弦，再代入面积公式。
参考答案S=(1/2)bcsinA=(1/2)×10×12×sin150°=60×(1/2)=30。注意 sin150°=sin30°=1/2。
465解答题
△ABC中，a=4√3，b=8，C=30°，求△ABC的面积。
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答案8√3
分值：10 分
解析带根号的数字先约分：(1/2)×8=4，4×4√3×(1/2)=8√3。
参考答案S=(1/2)×4√3×8×sin30°=16√3×(1/2)=8√3。
466解答题
△ABC的面积为12√3，a=8，C=60°，求 b。
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答案6
分值：10 分
解析把面积公式当方程，已知三个量求第四个，移项解方程即可。
参考答案由 S=(1/2)absinC 得 12√3=(1/2)×8×b×sin60°=2√3·b，解得 b=6。
467解答题
△ABC的面积为10，a=5，b=8，C为钝角，求 C。
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答案150°
分值：10 分
解析sinC=1/2 有两个可能：30° 或 150°，结合"钝角"条件取 150°。
参考答案10=(1/2)×5×8×sinC=20sinC，得 sinC=1/2。C 为三角形内角且是钝角，故 C=150°。
468解答题
在△ABC中，求证：(a+b)/c=(sinA+sinB)/sinC。
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答案证明略
分值：10 分
解析边角互化的标准套路：把边换成 2Rsin角，2R 约掉就化成了角。
参考答案由正弦定理 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入左边得 (2RsinA+2RsinB)/(2RsinC)=(sinA+sinB)/sinC=右边，证毕。
469解答题
在△ABC中，已知 a=8，sinA=2/3，求△ABC外接圆的直径。
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答案12
分值：10 分
解析记住 2R=a/sinA 就是外接圆直径，直接代入。
参考答案由正弦定理 a/sinA=2R，得 2R=8÷(2/3)=12。
470解答题
在△ABC中，已知 sinA:sinB:sinC=3:5:7，求 a:b:c。
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答案3:5:7
分值：10 分
解析正弦定理告诉我们边比等于正弦比，直接照抄。
参考答案由正弦定理 a:b:c=sinA:sinB:sinC=3:5:7。
471解答题
测量塔高：从地面上一点看塔顶的仰角为30°，向前走20m后看塔顶的仰角变为60°，求塔高。
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答案10√3m
分值：10 分
解析画出示意图，设两个未知数列两个方程：近处列 tan60°，远处列 tan30°，联立求解。
参考答案设塔高为 h，近处观测点到塔底的距离为 x。则 tan60°=h/x，tan30°=h/(x+20)。由第一式 x=h/√3，代入第二式得 h/√3+20=√3·h，解得 h=10√3m。
472解答题
从山顶看山脚下一点的俯角为30°，山高为60m，求该点到山底的水平距离。
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答案60√3m
分值：10 分
解析俯角要转化成仰角再列式：tan仰角=高度/水平距离。
参考答案俯角30°即从该点看山顶的仰角为30°（内错角），设水平距离为 d，则 tan30°=60/d，解得 d=60√3m。
473解答题
测量河宽：在岸边A处正对对岸目标B，沿岸走60m到C处，测得∠BAC=90°、∠ACB=60°，求河宽AB。
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答案60√3m
分值：10 分
解析先画直角三角形标出已知角和边，对边比邻边用正切，一步列式。
参考答案在 Rt△ABC 中，tan60°=AB/AC=AB/60，解得 AB=60√3m。
474解答题
一根旗杆在地面上的影长为8m，此时太阳的仰角为60°，求旗杆的高度。
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答案8√3m
分值：10 分
解析影子问题就是直角三角形：杆是高、影是底，tan仰角=杆高/影长。
参考答案设旗杆高为 h，则 tan60°=h/8，解得 h=8√3m。
475解答题
化简：sin²x+sin²(x+60°)+sin²(x-60°)。
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答案3/2
分值：10 分
解析先用和角公式展开再平方，交叉项正负抵消，最后用平方关系收尾。记住这个经典结论 3/2。
参考答案sin²(x+60°)=(sinxcos60°+cosxsin60°)²=(sinx/2+√3cosx/2)²=sin²x/4+(√3/2)sinxcosx+3cos²x/4；同理 sin²(x-60°)=sin²x/4-(√3/2)sinxcosx+3cos²x/4。两式相加交叉项抵消，得 sin²x/2+3cos²x/2；再加 sin²x 得 (3/2)(sin²x+cos²x)=3/2。
476解答题
化简：(1-cos2x)/sin2x。
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答案tanx
分值：10 分
解析分子用降幂、分母用二倍角，约分后就是 tanx。
参考答案1-cos2x=2sin²x，sin2x=2sinxcosx，原式=2sin²x/(2sinxcosx)=tanx。
477解答题
化简：sin⁴x+cos⁴x。
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答案1-(1/2)sin²2x
分值：10 分
解析配方凑出 (sin²x+cos²x)²，再把多出来的 2sin²xcos²x 配成 (1/2)sin²2x。
参考答案sin⁴x+cos⁴x=(sin²x+cos²x)²-2sin²xcos²x=1-2sin²xcos²x=1-(1/2)(2sinxcosx)²=1-(1/2)sin²2x。
478解答题
已知 tanα=2，求 sin2α 与 cos2α 的值。
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答案sin2α=4/5，cos2α=-3/5
分值：10 分
解析弦化切：分子分母同除以 cos²α，把 sin2α、cos2α 都化成只含 tanα 的式子再代入。
参考答案sin2α=2sinαcosα=2tanα/(1+tan²α)=4/5；cos2α=(cos²α-sin²α)/(cos²α+sin²α)=(1-tan²α)/(1+tan²α)=-3/5。
479解答题
已知 sinα=4/5，α为锐角，求 sin2α、cos2α 的值。
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答案sin2α=24/25，cos2α=7/25
分值：10 分
解析先由平方关系求出 cosα（锐角取正），再代入二倍角公式。
参考答案α 为锐角，cosα=√(1-16/25)=3/5；sin2α=2×(4/5)×(3/5)=24/25；cos2α=1-2sin²α=1-32/25=7/25。
480解答题
求证：在△ABC中，sinA:sinB:sinC=a:b:c。
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答案证明略
分值：10 分
解析用正弦定理把每个正弦都写成"边除以 2R"，比值中 2R 约掉即得。
参考答案由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，得 sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)，故 sinA:sinB:sinC=a:b:c，证毕。
481解答题
已知函数 y=2sin(2x+π/3)。(1)求它的最小正周期；(2)求它取得最大值时 x 的集合。
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答案(1)π；(2){x|x=kπ+π/12，k∈Z}
分值：8 分
解析第(1)问用公式 T=2π/ω；第(2)问令 2x+π/3=π/2+2kπ 解出 x，注意最大值 2 在 sin 取 1 时取得。
参考答案(1)T=2π/2=π。(2)当 2x+π/3=π/2+2kπ(k∈Z)时，sin 取最大值 1，y 取最大值 2。解得 2x=π/6+2kπ，即 x=kπ+π/12(k∈Z)。
482解答题
已知 sinα=3/5，且 α 为锐角。(1)求 cosα 的值；(2)求 sin2α 的值。
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答案(1)4/5；(2)24/25
分值：8 分
解析第(1)问用 sin²α+cos²α=1，锐角的余弦取正值；第(2)问用二倍角公式 sin2α=2sinαcosα。
参考答案(1)cos²α=1−sin²α=1−9/25=16/25，又 α 为锐角，cosα>0，所以 cosα=4/5。(2)sin2α=2sinαcosα=2×(3/5)×(4/5)=24/25。
483解答题
在△ABC 中，a=4，b=5，C=60°。(1)用余弦定理求边 c；(2)求△ABC 的面积。
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答案(1)c=√21；(2)5√3
分值：8 分
解析第(1)问用余弦定理 c²=a²+b²−2abcosC，注意 cos60°=1/2；第(2)问用面积公式 S=(1/2)absinC。
参考答案(1)c²=4²+5²−2×4×5×cos60°=16+25−40×(1/2)=21，所以 c=√21。(2)S=(1/2)×4×5×sin60°=(1/2)×4×5×(√3/2)=5√3。
484解答题
已知函数 y=cos²x−sin²x。(1)把它化成 y=Acos(ωx)的形式；(2)求它的最小正周期。
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答案(1)y=cos2x；(2)π
分值：8 分
解析第(1)问用二倍角公式 cos2x=cos²x−sin²x；第(2)问用 T=2π/ω。
参考答案(1)y=cos²x−sin²x=cos2x，即 A=1，ω=2。(2)T=2π/2=π。
485解答题
已知 tanα=2。(1)求 sin2α 的值；(2)求 cos2α 的值。
查看答案与解析
答案(1)4/5；(2)−3/5
分值：8 分
解析用万能公式：sin2α=2tanα/(1+tan²α)，cos2α=(1−tan²α)/(1+tan²α)，直接代入 tanα=2 计算。
参考答案(1)sin2α=2tanα/(1+tan²α)=4/(1+4)=4/5。(2)cos2α=(1−tan²α)/(1+tan²α)=(1−4)/(1+4)=−3/5。
486解答题
在△ABC 中，A=30°，B=45°，a=2。(1)用正弦定理求边 b；(2)求角 C 和边 c。
查看答案与解析
答案(1)b=2√2；(2)C=105°，c=√6+√2
分值：8 分
解析第(1)问用正弦定理 b=a·sinB/sinA；第(2)问先由三角形内角和求 C，再用正弦定理求 c，其中 sin105°=sin(60°+45°)用两角和公式展开。
参考答案(1)b/sin45°=2/sin30°，得 b=2×(√2/2)/(1/2)=2√2。(2)C=180°−30°−45°=105°。sin105°=sin60°cos45°+cos60°sin45°=(√6+√2)/4。c=a·sinC/sinA=2×[(√6+√2)/4]/(1/2)=√6+√2。
487解答题
已知函数 y=√3sinx+cosx。(1)把它化成 y=Asin(x+φ)的形式；(2)求它的最大值。
查看答案与解析
答案(1)y=2sin(x+π/6)；(2)2
分值：8 分
解析第(1)问提公因数 2，凑出 sin(x+π/6)的展开式；第(2)问正弦最大值为 1，所以 y 的最大值为 A。
参考答案(1)y=2[(√3/2)sinx+(1/2)cosx]=2[sinxcos(π/6)+cosxsin(π/6)]=2sin(x+π/6)。(2)当 sin(x+π/6)=1 时，y 取最大值 2。
488解答题
在△ABC 中，b=2√3，c=2，C=30°。(1)用正弦定理求角 B；(2)求角 A。
查看答案与解析
答案(1)B=60°或120°；(2)A=90°或30°
分值：8 分
解析第(1)问由 sinB=b·sinC/c 算出 sinB=√3/2，注意 b>c，所以 B 有两解；第(2)问用内角和分别求 A。
参考答案(1)sinB/b=sinC/c，得 sinB=2√3×(1/2)/2=√3/2。因为 b>c，B>A，B=60°或120°都符合题意。(2)当 B=60°时，A=180°−60°−30°=90°；当 B=120°时，A=180°−120°−30°=30°。
489选择题
在△ABC中，a=1，b=√(3)，A+C=2B，则sin A=（ ）
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答案A．1/2
解析A+C=2B且A+B+C=π，得B=π/3。由正弦定理a/sin A=b/sin B，得sin A=a·sin B/b=1×(√(3)/2)/√(3)=1/2，故选A。
490选择题
在△ABC中，c=√(3)，A=45°，C=75°，则a=（ ）
查看答案与解析
答案A．3-√(3)
解析B=180°-45°-75°=60°。由正弦定理a/sin A=c/sin C，得a=√(3)·sin45°/sin75°=3-√(3)，故选A。（选项B=√(2)、D=3+√(3)，已按原书图像补全。）
491选择题
在△ABC中，a=3√(2)，cos C=1/3，S_(△ABC)=4√(3)，则b=（ ）
A3
B2√(3)
C√(3)/2
D√(3)/3
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答案B．2√(3)
解析sin C=√(1-cos^(2)C)=2√(2)/3。S_(△ABC)=(1/2)ab sin C=(1/2)×3√(2)×b×2√(2)/3=2b=4√(3)，解得b=2√(3)，故选B。（选项C为√(3)/2、D为√(3)/3，已核对原书。）
492选择题
在△ABC 中，若 cos A=4/5，cos B=-12/13，则 sin C=（ ）
A-16/65
B16/65
C-56/65
D56/65
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答案A．-16/65
解析∵ cos A=4/5，∴ sin A=3/5；∵ cos B=-12/13，∴ sin B=5/13。∴ sin C=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=(3/5)×(-12/13)+(4/5)×(5/13)=-16/65。（注：按给定数值 A+B＞180°，构不成三角形，属原书数据印误；按 sin(A+B) 公式计算得 -16/65，选A。）
493选择题
在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a、b、c，若 b^(2)=a^(2)+c^(2)+ac，则 B=（ ）
查看答案与解析
答案C．2π/3
解析∵ b^(2)=a^(2)+c^(2)+ac，∴ a^(2)+c^(2)-b^(2)=-ac，∴ cos B=(a^(2)+c^(2)-b^(2))/(2ac)=-1/2，∴ B=2π/3。
494解答题
12.[本小题满分 14 分，其中（1）小问 6 分，（2）小问 8 分] 已知在△ABC 中，三边 a、b、c 分别对应三个角 A、B、C，cos A=4/5。（1）求 sin(π/4+A) 的值；（2）若 B∈(π/2,π)，且 sin(A+B)=5/13，求 cos B 的值。
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答案(1)7√(2)/10；(2)-33/65
解析由 cosA=4/5 得 sinA=3/5，sin(π/4+A)=7√(2)/10；由 sin(A+B)=5/13 得 cos(A+B)=-12/13，cosB=cos[(A+B)-A]=-33/65。
参考答案（1）∵ cos A=4/5，A∈(0,π/2)，∴ sin A=3/5。sin(π/4+A)=sin(π/4)cos A+cos(π/4)sin A=(√(2)/2)×(4/5)+(√(2)/2)×(3/5)=7√(2)/10。（2）∵ A∈(0,π/2)，B∈(π/2,π)，∴ A+B∈(π/2,π)，∴ cos(A+B)=-√(1-sin^(2)(A+B))=-12/13。cos B=cos[(A+B)-A]=cos(A+B)cos A+sin(A+B)sin A=(-12/13)×(4/5)+(5/13)×(3/5)=-33/65。
495选择题
已知△ABC 的面积为 3√(3)/2，且 b=3，c=2，则 A=（ ）
A30°
B60°
C30°或150°
D60°或120°
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答案D．60°或120°
解析∵ S=(1/2)bc sin A=(1/2)×3×2×sin A=3√(3)/2，∴ sin A=√(3)/2。又 0°＜A＜180°，∴ A=60°或120°。
496选择题
在△ABC 中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，则 AC=（ ）
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答案C．2√(7)
解析由余弦定理 AC^(2)=AB^(2)+BC^(2)-2·AB·BC·cos60°=16+36-2×4×6×(1/2)=28，∴ AC=2√(7)。
497选择题
已知△ABC 中 a∶b∶c=2∶3∶4，则△ABC 中最大角的余弦值为（ ）
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答案D．-1/4
解析设 a=2k，b=3k，c=4k，最大角为 C。cosC=(a^(2)+b^(2)-c^(2))/(2ab)=(4+9-16)k^(2)/(12k^(2))=-1/4，选D。
498选择题
在△ABC 中，已知 a=√(2)，b=2，∠C=π/4，则 S_(△ABC) 等于（ ）
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答案B．1
解析S_(△ABC)=(1/2)ab·sinC=(1/2)×√(2)×2×(√(2)/2)=1，选B。（注：此前录入误作 a=2、C=π/6，已按原书图像更正；答案仍为B。）
499解答题
在△ABC 中，已知 A=45°，B=60°，c=4，求：（1）sinC 的值；（2）边长 a 的值和△ABC 的面积。
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答案（1）sinC=(√(6)+√(2))/4；（2）a=4√(3)-4，S_(△ABC)=12-4√(3)。
解析C=75°，sinC=(√(6)+√(2))/4；由正弦定理 a=4(√(3)-1)，S=(1/2)ac·sinB=12-4√(3)。
参考答案（1）C=180°-(45°+60°)=75°，sinC=sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=(√(6)+√(2))/4。（2）由正弦定理 a/sinA=c/sinC 得 a=c·sinA/sinC=4(√(3)-1)。S_(△ABC)=(1/2)ac·sinB=(1/2)(4√(3)-4)×4×(√(3)/2)=12-4√(3)。
500选择题
在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边为 a，b，c，若 a=4，B=60°，b=4√(3)，则△ABC 的面积为（ ）
A2√(3)
B4√(3)
C8√(3)
D16√(3)
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答案C．8√(3)
解析由 b^(2)=a^(2)+c^(2)-2ac·cosB 得 48=16+c^(2)-4c，化简 c^(2)-4c-32=0，解得 c=8（c=-4 舍去）。S=(1/2)ac·sinB=(1/2)×4×8×(√(3)/2)=8√(3)，选C。
501选择题
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且已知 c=2a，则 cosB=（ ）
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答案B．3/4
解析b^(2)=ac=2a^(2)。由余弦定理 cosB=(a^(2)+c^(2)-b^(2))/(2ac)=(a^(2)+4a^(2)-2a^(2))/(4a^(2))=3/4，选B。
502选择题
在 △ABC 中，AB=14，BC=6，C=2π/3，则 △ABC 的面积为( )
A15√(3)
B21√(3)
C24√(3)
D36√(3)
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答案A．15√(3)
解析AB=c=14，BC=a=6，C=2π/3；由余弦定理 c^(2)=a^(2)+b^(2)-2ab·cosC，即 b^(2)+6b-160=0，解得 b=10（舍去-16）；S=(1/2)·a·b·sinC=(1/2)×6×10×(√(3)/2)=15√(3)。
503选择题
在 △ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a=1.5，c=4，B=60°，则 △ABC 的周长是( )
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答案D．9
解析由余弦定理 b^(2)=a^(2)+c^(2)-2accosB=(3/2)^(2)+4^(2)-2×(3/2)×4×cos60°=49/4，所以 b=7/2；△ABC 的周长为 a+b+c=3/2+7/2+4=9。
504选择题
已知 a，b，c 分别是 △ABC 中 A，B，C 的对边，a=3，b=5，C=60°，则 c=( )
A-3√(3)/3
B-2/3
C2√(19)
D√(19)
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答案D．√(19)
解析c^(2)=a^(2)+b^(2)-2abcosC=9+25-2×3×5cos60°=19，∴ c=√(19)。
505选择题
已知△ABC 中，a=2，b=2√(2)，A=30°，则 C=（ ）
A15°
B15°或105°
C45°
D45°或135°
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答案B．15°或105°
解析由正弦定理 sinB=(b·sinA)/a=(2√(2)·sin30°)/2=√(2)/2，又 B∈(0,π)，得 B=45°或135°，故 C=180°-45°-30°=105°或 C=180°-135°-30°=15°。
506解答题
在△ABC 中，已知内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b·sinA=a·cosB。（1）求 B 的大小；（2）若 b=2，sinC=√(2)sinA，求 a，c 的值。
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答案(1)B=π/4；(2)a=2，c=2√(2)
解析由 b·sinA=a·cosB 得 tanB=1，B=π/4；sinC=√(2)sinA 得 c=√(2)a，代入余弦定理得 a=2，c=2√(2)。
参考答案(1) 由 b·sinA=a·cosB 及正弦定理 a/sinA=b/sinB，得 sinB·sinA=sinA·cosB。∵ sinA≠0，∴ sinB=cosB，即 tanB=1。又 B∈(0,π)，∴ B=π/4。(2) 由(1)知 cosB=√(2)/2。∵ sinC=√(2)sinA，∴ 由正弦定理得 c=√(2)a。由余弦定理 b^(2)=a^(2)+c^(2)-2ac·cosB，代入 b=2、c=√(2)a、cosB=√(2)/2 得 4=a^(2)+2a^(2)-2a^(2)=a^(2)，∴ a=2（a＞0），c=2√(2)。（注：此前录入误作 sinC=2sinA，已按原书图像及答案区更正。）
507选择题
在△ABC 中，∠C=30°，BC=√(3)·AB，∠A 为钝角，则∠B=（ ）
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答案A．30°
解析由正弦定理 BC/sinA=AB/sinC，得 sinA=(BC·sinC)/AB=√(3)·sin30°=√(3)/2。又∠A 为钝角，∴ ∠A=120°，故∠B=180°-120°-30°=30°。
508选择题
在△ABC 中，AB=7，BC=8，AC=9，则该三角形是（ ）
A直角三角形
B锐角三角形
C钝角三角形
D无法确定
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答案B．锐角三角形
解析最大边 AC=9，7^(2)+8^(2)=113＞81=9^(2)，由余弦定理知最大角为锐角，故为锐角三角形。