🌀 复数

解析复数 a+bi 里 a 叫实部，b 叫虚部。这题 a=5，b=-2。注意虚部是 -2 不是 -2i，i 不带进去。

解析a+bi 中虚部就是 b。这题 b=7。选 7i 是把 i 也算进去了，这是最常见的坑，虚部只取数字部分。

解析纯虚数要求实部等于 0 且虚部不等于 0，两个条件缺一不可。只有 3i 的实部是 0、虚部是 3，符合要求。

解析0i 化简就是 0，是实数不是纯虚数；4+0i 就是 4，也是实数；0 也是实数。只有 0+5i 实部为 0、虚部 5 不为 0，是纯虚数。

解析纯虚数要求实部为 0 且虚部不为 0。实部 m-2=0 得 m=2，此时虚部 m+1=3 不为 0，符合要求。选 -1 是只让虚部为 0，得到的是实数，搞反了。

解析复数 a+bi 对应复平面上的点 (a,b)，横坐标是实部，纵坐标是虚部。所以 4-3i 对应 (4,-3)。

解析对应点是 (-2,5)，横坐标为负、纵坐标为正，这是第二象限的特征。

解析对应点是 (3,-4)，横正纵负，所以在第四象限。

解析对应点是 (-6,-7)，横纵坐标都是负数，所以在第三象限。

解析2+0i 就是实数 2，对应点 (2,0)，纵坐标为 0 的点都在实轴上。

解析实数要求虚部等于 0，即 a+2=0，得 a=-2。此时 z=-5，是实数。

解析复数相等则实部对实部、虚部对虚部。实部相等：x+1=5，得 x=4。虚部 2=2 本来就相等，不用管。

解析实部对实部得 x=4，虚部对虚部得 3=-y 即 y=-3。所以 x+y=4+(-3)=1。选 7 是只看了 x=4 就瞎凑，漏了 y 是负数。

解析实部对实部：a-2=3 得 a=5；虚部对虚部：b+1=-5 得 b=-6。所以 a-b=5-(-6)=11。注意减负数变加号。

解析实部相等：2x-1=7，解得 2x=8，x=4。y 那边不用求，题目只问 x。

解析复数加法：实部加实部、虚部加虚部。(2+4)+(3+5)i=6+8i。选 6+15i 是把虚部相乘了，错。

解析减法要把括号拆开，减号后面每一项都变号：7-2i-3+5i=(7-3)+(-2+5)i=4+3i。选 4-7i 是忘了给 -5i 变号。

解析5+i-2-4i=(5-2)+(1-4)i=3-3i。括号前的减号要分配到 2 和 4i 两项上。

解析实部：1+3-2=2；虚部：2-4-1=-3。所以结果是 2-3i。连加减就按实部虚部分开算，不容易错。

解析虚数单位 i 的规定就是 i²=-1。这是最基本的定义，记住就行。选 1 的是把 i 当成普通数字了。

解析先把 i² 换成 -1：3+2×(-1)=3-2=1。注意 i² 不是 1，别算成 5 了。

解析共轭复数就是把虚部的符号反过来：2+3i 的共轭是 2-3i。实部不变，只变虚部符号。

解析只把虚部的符号反转：-5i 变成 +5i，实部 -4 不动，所以是 -4+5i。

解析实部：3+(-3)=0；虚部：2+5=7。结果是 0+7i，也就是 7i。实部为 0 就直接写虚部。

解析6-3i-2+3i=(6-2)+(-3+3)i=4+0i=4。虚部抵消掉了，结果是个实数 4。

解析0+(-2)i 化简就是 -2i，实部为 0、虚部 -2 不为 0，所以是纯虚数。别被括号和负号吓到。

解析复数 0 可以看成 0+0i，对应点就是 (0,0)，即坐标原点。

解析先求和：(1+3)+(2-4)i=4-2i。它的虚部是 -2。注意题目问的是虚部，不是整个和。

解析(5-2)+(6-3)i=3+3i。减法也是实部减实部、虚部减虚部。

解析虚部对虚部：y=3。选 2 是把实部的值 2 套到 y 上了，实部和虚部要各对各的。

解析a+bi 中 a 是实部，这题 a=-4，连负号一起写。

解析纯虚数要求实部为 0：k+3=0 得 k=-3。此时虚部是 2 不为 0，符合纯虚数的第二个条件。

解析a+bi 对应 (a,b)，实部 1 作横坐标，虚部 -6 作纵坐标。

解析对应点 (-3,2)，横负纵正，是第二象限。

解析实部对实部：m-1=4 得 m=5；虚部对虚部：n+3=-1 得 n=-4。所以 m+n=5-4=1。

解析实部：8+1=9；虚部：-2+6=4。结果 9+4i。

解析10+3i-4-i=(10-4)+(3-1)i=6+2i。

解析i²=-1，所以 5+3×(-1)=5-3=2。

解析共轭复数把虚部变号：-2i 变成 +2i，实部 7 不动。

解析先求和：(2-1)+(-3+5)i=1+2i，它的实部是 1。

解析实部为 0：a+2=0 得 a=-2，此时虚部 a-5=-7 不为 0，符合要求，这时 z=-7i。

解析复数的模就是复平面上点到原点的距离：|3+4i|=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5。

解析第一步：z 是实数只要虚部等于 0，解 m+1=0 得 m=-1。第二步：纯虚数两个条件都要查：实部 m²-1=0 解出 m=1 或 m=-1，再把每个代回虚部检查，m=-1 时虚部是 0，只能算实数，所以舍掉，只剩 m=1。

参考答案(1) 虚部为 0 时 z 是实数：m+1=0，得 m=-1，此时 z=-2。(2) 纯虚数要求实部为 0 且虚部不为 0：m²-1=0 得 m=1 或 m=-1；但 m=-1 时虚部为 0，不合要求，舍去。故 m=1，此时 z=2i。

解析复数相等就是实部对实部、虚部对虚部，列出两个方程。先从简单的方程里表示出 x，再代入另一个方程求 y，最后回代求 x。注意 y 算出来是负分数，代入时小心符号。

参考答案由复数相等得方程组：2x+y=4，x-2y=3。由第二式得 x=3+2y，代入第一式：2(3+2y)+y=4，即 6+5y=4，得 y=-2/5。再代回得 x=3+2×(-2/5)=11/5。

解析连加减就分开算：把所有实部放一起 3+5-1=7，所有虚部放一起 -2+4-1=1，拼起来就是 7+i。拆括号时注意减号后面变号。

参考答案实部：3+5-1=7；虚部：-2+4-1=1。结果为 7+i。

解析先做减法：注意 -(-2) 变成 +2，所以实部是 4+2=6；虚部 3-1=2，得 6+2i。再看对应点 (6,2)，两个坐标都是正数，就是第一象限。

参考答案z₁-z₂=(4+3i)-(-2+i)=(4+2)+(3-1)i=6+2i。对应点为 (6,2)，横纵坐标都为正，所以在第一象限。

解析分两步走：第一步先把两个复数加起来得 3-i；第二步求共轭，只把虚部的符号反过来，实部 3 不动，-i 变成 +i，所以答案是 3+i。

参考答案先求和：z₁+z₂=(1+2)+(2-3)i=3-i。共轭复数把虚部变号：3-i 的共轭复数是 3+i。

解析这就是复数相等的应用：左边实部是 x，右边实部是 2，所以 x=2；左边虚部是 5，右边虚部是 y+1，所以 y+1=5，解得 y=4。

参考答案实部对实部：x=2；虚部对虚部：5=y+1，得 y=4。

解析第一步先把所有 i² 都换成 -1：第三个括号里的 -(5-i²) 变成 -(5+1)=-6。第二步分开算实部 1+3-6=-2，虚部 -4，拼起来是 -2-4i。注意减号要分配到括号里的每一项。

参考答案先把 i² 换成 -1：(2-1)+(3-4i)-(5+1)=1+(3-4i)-6。实部：1+3-6=-2；虚部：-4。所以结果为 -2-4i。

解析复数 a+bi 对应的点是 (a,b)，反过来点 (2,-5) 也就告诉我们 a=2、b=-5。写出 z=2-5i：实部是 2，虚部是 -5；共轭复数把虚部变号，就是 2+5i。

参考答案由对应关系 (a,b)=(2,-5) 得 a=2，b=-5。所以 z=2-5i，实部为 2，虚部为 -5，共轭复数为 2+5i。

解析先展开：2+2i+3i+3i²，再把 i²换成 -1，得到 2+5i-3=-1+5i。注意别漏掉 i²=-1 这一步，漏了就会错选 5+5i。

解析展开得 3+i-6i-2i²，把 i²换成 -1：-2i² 变成 +2，最后 3-5i+2=5-5i。

解析按完全平方公式展开：9+12i+4i²，再把 i²换成 -1，得 9+12i-4=5+12i。

解析用平方差公式：1²-i²=1-(-1)=2。记住 i²=-1 不是 1，把 i²当成 1 就会错选 0。

解析平方差公式：4-i²=4-(-1)=5。实部相同、虚部相反的两个复数相乘，结果一定是实数。

解析展开：2-3i+4i-6i²，把 i²换成 -1 得 2+i+6=8+i。

解析i·2i=2i²=2×(-1)=-2。

解析展开：3+6i-2i-4i²=3+4i+4=7+4i。注意 -2i×2i=-4i²=+4，符号别搞错。

解析展开：1+2i+i²=1+2i-1=2i。漏掉 i²=-1 会错选 1+2i，把 i²当成 1 会错选 2+2i。

解析展开：10+5i-6i-3i²=10-i+3=13-i。

解析展开：2-8i+5i-20i²=2-3i+20=22-3i。数字大一点别慌，一步一步乘。

解析分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数 1-2i。分子 (3+4i)(1-2i)=11-2i，分母 (1+2i)(1-2i)=5，结果 (11-2i)/5。验算：(11-2i)/5×(1+2i)=3+4i，正确。

解析分母实数化：分子分母同乘 i。分子 (2+3i)i=2i-3，分母 i×i=i²=-1，结果 (2i-3)/(-1)=3-2i。

解析分母实数化：分子分母同乘 1+i。分子 (4+2i)(1+i)=2+6i，分母 (1-i)(1+i)=2，结果 1+3i。注意最后别忘了除以 2，不然会错选 2+6i。

解析分母实数化：分子分母同乘 3+4i。分子 (1+2i)(3+4i)=-5+10i，分母 9+16=25，结果 -1/5+(2/5)i。分母是 25 不是 5，别错选 -1+2i。

解析分母实数化：分子分母同乘 2-i。分子 (5-3i)(2-i)=7-11i，分母 5，结果 (7-11i)/5。验算：(7-11i)/5×(2+i)=5-3i，正确。

解析分母实数化：分子分母同乘 i。分子 (2-i)i=1+2i，分母 3i²=-3，结果 (1+2i)/(-3)=-1/3-(2/3)i。验算：(-1/3-(2/3)i)×3i=2-i，正确。

解析分母实数化：分子分母同乘 1+i。分子 (1+i)²=2i，分母 2，结果 i。验算：i×(1-i)=2i，正确。

解析只变虚部的符号：-4+i 变成 -4-i，实部 -4 保持不动。

解析z+z̄=(5-2i)+(5+2i)=10。复数加它的共轭，虚部抵消，结果是实部的 2 倍。

解析z-z̄=(1+4i)-(1-4i)=8i。相减实部抵消，结果是虚部的 2 倍再乘 i。

解析z=3i 就是 0+3i，只变虚部的符号得 -3i。

解析共轭的共轭就是它本身，反过来把虚部符号变回来：z=2+5i。

解析模的公式 |a+bi|=√(a²+b²)，所以 |3+4i|=√(9+16)=5。直接把 3+4 加起来得 7 是最常见的错法。

解析|5-12i|=√(25+144)=√169=13。注意先平方再相加，最后一步开方别忘了。

解析|1+i|=√(1+1)=√2。√2 化不开了，就这么写。

解析由 |z|=√(9+b²)=5，两边平方得 9+b²=25，b²=16，又 b>0，所以 b=4。

解析共轭复数的模和原来相等：|z̄|=|z|=√(16+9)=5。

解析先算分子：(1+i)²=2i；再分母实数化：2i/(1-i)=2i(1+i)/2=i(1+i)=-1+i。验算：(-1+i)(1-i)=2i，正确。

解析展开：6-15i+2i-5i²=6-13i+5=11-13i。

解析展开：4+12i+9i²=4+12i-9=-5+12i。

解析分母实数化：分子分母同乘 2-i，得 (5+5i)/5=1+i。

解析分子分母同乘 i：(4i+2i²)/(-1)=(4i-2)/(-1)=2-4i。

解析分母实数化：分子分母同乘 1-i，得 (-4-8i)/2=-2-4i。

解析共轭复数只变虚部的符号：-2+5i 变成 -2-5i。

解析z+z̄=(1-i)+(1+i)=2，虚部抵消，等于实部的 2 倍。

解析|2-6i|=√(4+36)=√40=2√10。

解析由 √(36+b²)=10，两边平方得 b²=64，又 b<0，所以 b=-8。

解析共轭复数的模和原来相等：|z̄|=|z|=√(9+16)=5。

解析|7-24i|=√(49+576)=√625=25。

解析先算分子：(2+i)(2-i)=5；再分母实数化：5/(1+i)=5(1-i)/2=(5-5i)/2。

解析z·z̄=(3+2i)(3-2i)=9+4=13。记住结论：复数乘它的共轭，等于模的平方。

解析先按多项式乘法展开得 8+10i-12i-15i²，再把 i²换成 -1，合并同类项得 23-2i。

参考答案(2-3i)(4+5i)=8+10i-12i-15i²=8-2i+15=23-2i

解析除法先分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数 1+3i，分母变成 1+9=10，分子展开为 5+17i-6，化简得 (-1+17i)/10。乘回去验算：(-1+17i)/10×(1-3i)=5+2i，结果正确。

参考答案(5+2i)/(1-3i)=(5+2i)(1+3i)/[(1-3i)(1+3i)]=(5+15i+2i+6i²)/10=(-1+17i)/10

解析分母是纯虚数 i，分子分母同乘 i，分母 i×i=i²=-1，分子得 3i+4，相除得 -4-3i。验算：(-4-3i)×i=3-4i，正确。

参考答案(3-4i)/i=(3-4i)i/(i·i)=(3i-4i²)/(-1)=(4+3i)/(-1)=-4-3i

解析共轭复数只变虚部的符号；相加虚部抵消得实部的 2 倍，相减实部抵消得虚部的 2 倍再乘 i。

参考答案z̄=4+5i；z+z̄=(4-5i)+(4+5i)=8；z-z̄=(4-5i)-(4+5i)=-10i

解析共轭的共轭就是它本身，所以 z=3+4i，对照 a+bi 得 a=3，b=4；模 |z|=√(a²+b²)=5。

参考答案由 z̄=3-4i 得 z=3+4i，所以 a=3，b=4；|z|=√(3²+4²)=5

解析由模的公式列方程 √(25+b²)=13，平方得 b²=144，结合 b>0 得 b=12；共轭复数只变虚部的符号。

参考答案|z|=√(5²+b²)=13，解得 b²=144，又 b>0，所以 b=12；z=5+12i，z̄=5-12i

解析先算平方：(2+i)²=4+4i+i²=3+4i；再写共轭 z̄=2-i；最后相加得 5+3i。

参考答案z²=(2+i)²=4+4i+i²=3+4i；z̄=2-i；z²+z̄=(3+4i)+(2-i)=5+3i

解析先算判别式 Δ=0-16=-16<0，复数范围有解。x²=-4=4i²，所以 x=±2i。易错：把 √(-4) 当成 ±2 漏了 i；选"无解"是实数范围内的结论。

解析x²=-9=9i²，所以 x=±3i。易错：只写 x=3i 漏掉负根；选"±3"是把 √(-9) 当成 ±3，忘了乘 i。

解析Δ=4-20=-16<0。配方：(x+1)²=-4，得 x+1=±2i，即 x=-1±2i。易错：符号搞反得 1±2i；忘了除以 2a 得 -2±4i。

解析Δ=36-52=-16<0，复数范围有两个共轭虚根。x=(6±√(-16))/2=(6±4i)/2=3±2i。易错：忘记除以 2a 得 3±4i；"无解"是实数范围的结论。

解析Δ=16-32=-16<0。x=(-4±√(-16))/2=(-4±4i)/2=-2±2i。易错：b 的符号搞反得 2±2i；分子分母没约干净得 -2±4i 或 -4±4i。

解析韦达定理在复数范围仍成立：x₁+x₂=-b/a=4，x₁x₂=c/a=13（求出两根 2±3i 也可直接验证）。易错：-b/a 的符号搞反。

解析实系数方程的虚根成对共轭出现，另一根为 3-2i；由韦达定理 m=x₁x₂=(3+2i)(3-2i)=9+4=13。易错：把 i² 当成 1 算出 m=5。

解析Δ=4-8=-4<0，x=(2±√(-4))/2=(2±2i)/2=1±i。注意正负两根都要写。

解析x²=-9=9i²，所以 x=±3i。易错：只写 3i 漏掉负根。

解析虚根成对共轭，另一根为 1-3i；由韦达定理 -b=(1+3i)+(1-3i)=2，得 b=-2（也可由 (1+3i)(1-3i)=10 验证常数项）。

解析思路：先算判别式定"型"——Δ<0 说明实数范围无解、复数范围有两个共轭虚根；再套求根公式，注意分母是 2a=6，不要漏除。

参考答案Δ=(-6)²-4×3×6=36-72=-36<0，所以方程在复数范围有两个共轭虚根。由求根公式 x=(6±√(-36))/(2×3)=(6±6i)/6=1±i。检验：(1+i)²=2i，3×2i-6(1+i)+6=0，成立。

解析思路：Δ<0 先定性，再用求根公式，注意 √(-11)=√(11)i；验证时和直接相加，积用平方差公式 (a+bi)(a-bi)=a²+b² 化简。

参考答案Δ=5²-4×1×9=25-36=-11<0，复数范围有两个共轭虚根。x=(-5±√(-11))/2=(-5±√(11)i)/2。验证：x₁+x₂=(-5+√(11)i-5-√(11)i)/2=-5=-b/a；x₁x₂=[25-(√(11)i)²]/4=(25+11)/4=9=c/a，韦达定理在复数范围成立。