🧊 立体几何

解析这是公理 1 的内容：一把直尺两端都贴在桌面上，整把尺就贴在桌面上。直线上有两点在平面内，这条直线就整个落在平面里了。B、C、D 都跟结论反着来，是常见误区。

解析公理 2 说不共线的三点确定一个平面，由它还能推出：一条直线加直线外一点、两条相交直线、两条平行直线也都能确定唯一平面。A 错在三点可能共线；C 异面直线根本定不出平面；D 直线加线上一点，能绕着转出无数个平面。

解析这是公理 3：两个平面只要有一个公共点，就一定还有一条过这个点的公共直线，也就是两平面相交。选 D 的同学是把有一个公共点想成了只有一个公共点。

解析点和线、点和面之间用属于号 ∈，线和面之间用包含号 ⊂。B、D 把点写成了包含，C 把直线写成了属于，都是符号用混了。

解析只有三种：相交、平行、异面。选 B 的同学漏掉了异面，这是空间和平面最大的不同。

解析A 是异面直线的定义，一字不差。B 错在平行直线也没有公共点；C 的说法不严谨，少了任何一个三个字；D 分别在两个平面里，完全可以平行或相交。

解析异面直线所成角大于 0°、小于等于 90°。注意两头：0° 不行，因为成 0° 的两条直线是平行而不是异面；90° 可以取到，这时两条直线互相垂直。

解析A₁B₁ 与 AB 平行，BC 与 AB 相交于 B，CD 与 AB 平行，只有 CC₁ 与 AB 既不平行又不相交，是异面。找异面先看有没有公共点，再看平不平行。

解析AD、BC 都与 AB 相交，BB₁ 与 AB 也相交，只有 A₁B₁ 与 AB 平行。长方体里找平行，看是不是同一方向的棱。

解析CD 与 AB 平行，A₁D₁ 与 AB 异面，A₁B₁ 与 AB 平行，只有 AA₁ 与 AB 交于点 A。相交必须有公共点，这是关键。

解析异面直线所成角是 90°，就说这两条直线互相垂直，记作 a⊥b。注意异面也可以垂直，垂直不一定非要相交。

解析A、B、C 都是确定平面的正确条件，D 错：异面直线连一个平面都放不下，更定不出平面。这是公理 2 推论常考的坑。

解析两个平面的公共部分用交集号 ∩ 表示，交出来是一条直线。B 的并集号不对，C、D 的属于和包含用错了对象。

解析直线 ℓ 上 A、B 两点都在平面 α 内，根据公理 1，整条直线 ℓ 都落在平面 α 里，记作 ℓ⊂α。

解析平行具有传递性：a 平行 b，b 平行 c，那么 a 一定平行 c，空间里也成立。这是平行公理的内容。

解析把 AB 平移到 A₁B₁ 的位置，A₁B₁ 与 B₁C₁ 在顶面内互相垂直，所以 AB 与 B₁C₁ 所成的角是 90°。求异面角先平移，找一条好算的等角。

解析AB 平行于 A₁B₁，A₁B₁ 与 A₁D₁ 是顶面正方形的两条邻边，夹角 45°，所以 AB 与 A₁D₁ 所成的角也是 45°。

解析AC 平行于顶面的对角线 A₁C₁，而 A₁C₁ 与 B₁D₁ 是顶面正方形的两条对角线，互相垂直，所以 AC 与 B₁D₁ 所成的角是 90°，这两条异面直线互相垂直。

解析没有公共点有两种可能：平行或者异面。只选 B 的同学忘了异面直线也没有公共点，这是最常见的漏解。

解析两平面的公共点一定落在它们的交线上，这是公理 3 的直接推论。P 既在 α 又在 β 里，只能在交线 ℓ 上。

解析平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，空间里也一样。选 C 的同学是跟过一点作平面的情况搞混了。

解析异面没有传递性。a、c 可能平行、可能相交、也可能异面，三种情况都能举出例子。想当然选 A 是把异面当成了平行来传递。

解析AB 与 BC 相交于 B，AB 与 A₁D₁ 异面，AB 与 DD₁ 异面，只有 AB 与 C₁D₁ 平行，都是横向的棱。

解析AA₁、AB、AD 都与 AC 相交，只有顶面后棱 A₁D₁ 与 AC 既无公共点又不平行，是异面。

解析两条直线的公共点用交集号表示：a∩b=P。点用大写字母 P，不能写成小写 p。

解析直尺是直线，桌面是平面，两端是直线上的两点，这正好是公理 1：直线上有两点在平面内，则直线上所有点都在平面内。生活里处处是公理。

解析三脚架的三个脚就是不共线的三点，它们唯一确定一个平面，所以架子放得稳。这是公理 2 在生活中的应用。

解析AB 与 CD 平行，AB 与 BC 相交于 B，AB 与 B₁C₁ 异面，只有 AB 与 A₁D₁ 既无公共点又不平行，是异面直线。

解析AD₁ 平行于侧面的对角线 BC₁，BC₁ 与 BC 是侧面正方形 BCC₁B₁ 的对角线与边，夹角 45°，所以 AD₁ 与 BC 所成的角是 45°。

解析A 对：不共线的三点唯一确定一个平面，所以有三个不共线公共点的两平面只能重合。B 漏了异面；C 异面角大于 0°；D 分别在两平面里也可能平行或相交。

解析异面角大于 0°、小于等于 90°。0° 取不到，因为成 0° 的就是平行线了；90° 能取到，对应互相垂直的异面直线。

解析与 AB 平行的有 A₁B₁、CD、C₁D₁，共 3 条。数的时候按方向找，别把相交的 AD、BC 数进来。

解析相交、平行、异面，共三种。别漏了异面，这是空间独有的。

解析点在直线上用属于号 ∈，写成 P∈ℓ。注意是 ∈ 不是 ⊂，包含号是线对面用的。

解析与 AB 异面的是 CC₁、DD₁、A₁D₁、B₁C₁，共 4 条。先排除有公共点的，再排除平行的，剩下的就是异面。

解析异面直线所成角是 90°，就说它们互相垂直。垂直不要求相交，异面也可以垂直。

解析公理 2：不共线的三点唯一确定一个平面。共线了就不行，会有无数个平面。

解析AB 平行于 A₁B₁，DD₁ 垂直于顶面，所以 DD₁ 与 A₁B₁ 垂直，AB 与 DD₁ 所成的角是 90°。

解析两平面的交集是一条直线，记作 α∩β=ℓ。交用 ∩，千万别写成并 ∪。

解析平行有传递性，a∥b 且 b∥c，则 a∥c。

解析与 AA₁ 相交的是 AB、AD、A₁B₁、A₁D₁，共 4 条，都是交于 A 或 A₁ 的棱。

解析没公共点有两种情形：平行或异面。两个都要答，只写平行就漏了。

解析判断两直线关系就两步：先看有没有公共点，再看平不平行。AB 在底面上，CC₁ 只有 C 点在底面而 C 不在 AB 上，所以没公共点；方向一横一竖不平行，就是异面。

参考答案AB 与 CC₁ 是异面直线。理由：AB 在底面 ABCD 内，CC₁ 与底面只交于点 C，而点 C 不在棱 AB 上，所以 AB 与 CC₁ 没有公共点；AB 是水平方向的棱，CC₁ 是竖直方向的棱，两者不平行。既不平行又不相交，故 AB 与 CC₁ 异面。

解析求异面角三步：平移、找角、求值。把 AC 平移到顶面的 A₁C₁，DD₁ 本来就垂直顶面，对角线 A₁C₁ 躺在顶面里，两线垂直，角就是 90°。

参考答案因为 AC∥A₁C₁，所以 AC 与 DD₁ 所成的角等于 A₁C₁ 与 DD₁ 所成的角。DD₁ 垂直于顶面 A₁B₁C₁D₁，A₁C₁ 在顶面内，所以 DD₁⊥A₁C₁，夹角为 90°。故异面直线 AC 与 DD₁ 所成的角是 90°。

解析关键看 C 在不在直线 AB 上。A、B、C 不共线，C 就是线外一点，直线加线外一点唯一确定一个平面，D 又在 AB 上，CD 自然也落在这个平面里。

参考答案能。因为 A、B、C 三点不共线，所以点 C 不在直线 AB 上。根据公理 2 的推论，直线 AB 与直线外一点 C 唯一确定一个平面；点 D 在直线 AB 上，点 C 也在该平面内，所以直线 CD 落在这个平面里，直线 CD 与直线 AB 确定这同一个平面。

解析有公共点 B₁，直接就是相交。这题是送分题，看到公共点就选相交。

参考答案A₁B₁ 与 B₁C₁ 是相交直线。理由：A₁B₁ 与 B₁C₁ 交于点 B₁，有公共点，根据定义，有公共点的两条直线就是相交直线。

解析把 AB 平移到顶边 A₁B₁，角就变成了顶面正方形里边与对角线的夹角，正方形对角线平分直角，答案 45°。

参考答案因为 AB∥A₁B₁，所以 AB 与 B₁D₁ 所成的角等于 A₁B₁ 与 B₁D₁ 所成的角，即∠A₁B₁D₁。在顶面正方形 A₁B₁C₁D₁ 中，B₁D₁ 是对角线，所以∠A₁B₁D₁=45°。故异面直线 AB 与 B₁D₁ 所成的角是 45°。

解析公理 1 就是两点定直线落平面：直线上的两点在平面里，整条直线就进去了。符号上注意点用 ∈、线对面用 ⊂。

参考答案公理 1：如果直线 ℓ 上有两个点 A、B 在平面 α 内，即 A∈ℓ，B∈ℓ，A∈α，B∈α，那么直线 ℓ 上的所有点都在平面 α 内，记作 ℓ⊂α。

解析异面没有传递性，别想当然。这题就是要你动手在长方体里各找一组例子，找的时候固定一条 b，再去配 a 和 c。

参考答案三种位置关系都可能。在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中取 b 为棱 AB：若 a 取棱 DD₁，c 取棱 BB₁，c 与 b 交于 B，此时 a∥c；若 a 取棱 A₁D₁，c 取面对角线 AD₁，c 与 b 交于 A，此时 a 与 c 交于 D₁，两直线相交；若 a 取棱 CC₁，c 取棱 AD，c 与 b 交于 A，此时 a 与 c 既无公共点又不平行，两直线异面。

解析先确认异面，再平移求角：A₁C₁ 平移到 AC，AC 与 BD 是底面正方形的两条对角线，互相垂直，所以这两条异面直线也垂直。

参考答案A₁C₁ 与 BD 垂直。理由：A₁C₁ 与 BD 没有公共点且不平行，是异面直线。因为 A₁C₁∥AC，所以 A₁C₁ 与 BD 所成的角等于 AC 与 BD 所成的角。在底面正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直，夹角为 90°，所以 A₁C₁ 与 BD 所成的角也是 90°，即 A₁C₁⊥BD，两条异面直线互相垂直。

解析直线 AB 与平面 BCC₁B₁ 交于点 B，有且只有一个公共点，所以是相交。其实 AB 还垂直于这个平面，因为 AB 同时垂直于平面内的 BB₁ 和 BC。

解析A₁B₁ 在上底面内，与下底面 ABCD 没有公共点，所以 A₁B₁ 平行于底面 ABCD。

解析B、C 两点都在平面 BCC₁B₁ 上，所以直线 BC 上的每一点都在这个平面内，即直线在平面内。

解析相交的定义就是有且只有一个公共点。有两个或无数个公共点就是直线在平面内了，没有公共点就是平行。

解析直线与平面平行的定义就是没有公共点，所以公共点个数是 0。

解析如果 ℓ 与 m 相交，交点就是直线 m 与平面 α 的公共点，这与 m 平行于 α 矛盾，所以它们不可能相交。注意不能选 B，不相交不代表一定平行。

解析这就是直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线平行于平面内一条直线，则这条直线平行于这个平面。

解析判定定理要求两个条件缺一不可：直线在平面外，还要平行于平面内的一条直线。B 少了在平面外这个条件，ℓ 可能就在平面内；C 中直线本身就在平面内；D 同样少了在平面外的条件。

解析这是直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，过这条直线的平面与这个平面相交，则这条直线与交线平行。

解析a 平行于 α 说明 a 与 α 没有公共点，b 在 α 内，所以 a 与 b 不可能有公共点，即不相交。注意不相交不等于一定平行，所以不选 C。

解析都平行于同一个平面的两条直线，位置关系不能确定。比如在长方体中，A₁B₁ 与 B₁C₁ 都平行于底面 ABCD，但它们相交；而 A₁B₁ 与 C₁D₁ 也都平行于底面，它们却平行。

解析判定定理要求垂直于平面内的两条相交直线。只垂直一条不够；垂直两条平行直线也不够，因为它们方向相同，相当于只垂直了一个方向；即使是无数条直线，如果它们都互相平行，同样不够。

解析这是直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

解析AA₁ 垂直于底面内的两条相交直线 AB、AD，由直线与平面垂直的判定定理可知 AA₁ 垂直于底面 ABCD。

解析过一点有且只有一条直线垂直于已知平面。如果有两条不同的垂线，它们都垂直于 α 就互相平行，不可能交于 P 点。

解析直线与平面垂直的定义就是：这条直线垂直于平面内的每一条直线。定义的要求比判定定理更强。

解析直线与平面所成的角，指的是斜线与它在平面内的射影所成的锐角。B 错在任意二字上，这个角是唯一确定的。

解析直线在平面内或与平面平行时，所成的角是 0°；直线与平面垂直时，所成的角是 90°。两种极端情况都能取到，所以两端都是闭的。

解析A₁ 在底面的射影是 A，B 本身在底面上，所以 A₁B 在底面的射影是 AB，所成的角就是 ∠A₁BA。在正方形 ABB₁A₁ 中，对角线 A₁B 与边 AB 的夹角是 45°。

解析平面与平面只有两种位置关系：平行（没有公共点）和相交（有一条交线）。

解析长方体的上、下底面没有公共点，所以是平行关系。

解析平面与平面平行的定义就是没有公共点，所以公共点个数是 0。

解析判定定理要求：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面。B 只一条不够；C 的两条直线互相平行，相当于只控制了一个方向；D 的无数条直线如果都互相平行，同样不够。

解析这是平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。

解析两种情况都可能。看长方体：左右两个侧面都垂直于底面，它们互相平行；但前侧面和右侧面也都垂直于底面，它们却相交。所以不能选 B。

解析判定定理是：一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。B 只说平行不够；C 相交的两个平面不一定垂直；D 中两条直线垂直，推不出面面垂直。

解析四个侧面 ABB₁A₁、BCC₁B₁、CDD₁C₁、DAA₁D₁ 都经过底面的垂线（如 AA₁、BB₁ 等），所以都与底面垂直，一共 4 个。上底面与底面平行，不算在内。

解析这是平面与平面垂直的性质定理：在一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。注意 m 必须在平面 α 内这个条件不能少。

解析二面角的定义强调的是两个半平面，不是两个平面，所以 B 不严谨。二面角的平面角可以是锐角、直角或钝角，D 错。

解析二面角的棱是 AB。在棱上取点 A，在前侧面内 AA₁ 垂直于 AB，在底面内 AD 垂直于 AB，所以 ∠A₁AD 就是二面角的平面角。AA₁ 垂直于底面，所以 ∠A₁AD 等于 90°。

解析相交就是有且只有一个公共点，这里就是点 P。

解析上底面的四条棱 A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁ 都与下底面没有公共点，所以是 4 条。

解析这正是直线与平面平行的判定定理：平面外一直线平行于平面内一直线，则线面平行。

解析线面垂直的判定定理要求垂直于平面内的两条相交直线。AB 与 BC 交于点 B，是相交直线，条件满足。

解析A₁ 在底面的射影是 A，C 在底面上，所以 A₁C 在底面的射影是 AC，所成的角就是斜线 A₁C 与射影 AC 的夹角 ∠A₁CA。

解析垂直于同一个平面的两条直线互相平行，这是线面垂直的性质定理。

解析这是面面平行的性质：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

解析四条侧棱 AA₁、BB₁、CC₁、DD₁ 都垂直于底面内的两条相交直线，所以都垂直于底面，一共 4 条。

解析这就是平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。

解析这是面面垂直的性质定理：在一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一个平面。

解析棱是 AB。在点 A 处，AD 垂直于 AB（正方形邻边），AD₁ 也垂直于 AB（因为 AB 垂直于平面 ADD₁A₁），所以 ∠D₁AD 就是二面角的平面角，它等于 45°。

解析两个平面重合时二面角为 0°，两个平面垂直时为 90°，两个平面成平角位置时为 180°，所以范围是 0° 到 180°，两端都能取到。

解析两个相邻侧面有公共棱 BB₁，所以是相交关系（实际上它们还互相垂直）。

解析判断线面关系就看公共点个数和定理条件：找平行用判定定理（平面外、平行平面内一直线），判垂直用判定定理（垂直平面内两条相交直线），两点都在平面上就是直线在平面内。

参考答案B₁C₁ 平行于平面 ABCD，理由：B₁C₁ 平行于平面 ABCD 内的直线 BC，且 B₁C₁ 在平面 ABCD 外，由直线与平面平行的判定定理得 B₁C₁ 平行于平面 ABCD。B₁C₁ 垂直于平面 ABB₁A₁，理由：B₁C₁ 垂直于平面 ABB₁A₁ 内的两条相交直线 AB 与 BB₁，由直线与平面垂直的判定定理得 B₁C₁ 垂直于平面 ABB₁A₁。B₁C₁ 在平面 BCC₁B₁ 内，理由：B₁、C₁ 两点都在平面 BCC₁B₁ 上。

解析证线面平行就用判定定理：先在平面内找一条直线与已知直线平行，再确认已知直线在平面外，两个条件都要写清楚。

参考答案在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，四边形 BDD₁B₁ 是矩形，所以 B₁D₁ 平行于 BD。因为 B₁D₁ 在平面 ABCD 外，BD 在平面 ABCD 内，所以由直线与平面平行的判定定理得 B₁D₁ 平行于平面 ABCD。

解析证线面垂直用判定定理：在平面内找两条相交直线都与已知直线垂直。这里 AC 既垂直对角线 BD，又垂直侧棱 DD₁，BD 与 DD₁ 相交于 D，条件齐了。

参考答案在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AC 垂直于 BD（正方形对角线互相垂直），AC 垂直于 DD₁（DD₁ 垂直于底面 ABCD，所以垂直于底面内的直线 AC），且 BD 与 DD₁ 交于点 D。由直线与平面垂直的判定定理得 AC 垂直于平面 BDD₁B₁。

解析先找射影定角：垂足是 A，所以射影是 AC，角就是 ∠A₁CA。再在直角三角形里算：底面矩形对角线 AC=5，高 AA₁=12，正切就是对边比邻边 12/5。

参考答案A₁ 在底面 ABCD 内的射影是点 A，C 在底面内，所以 A₁C 在底面内的射影是 AC，直线 A₁C 与底面 ABCD 所成的角就是 ∠A₁CA。在 Rt△A₁AC 中，AC=√(3²+4²)=5，tan∠A₁CA=A₁A/AC=12/5。

解析证面面平行用判定定理：在一个平面内找两条相交直线，分别平行于另一个平面。这里上底面的两条邻边分别平行于下底面的两条邻边，条件正好满足。

参考答案在长方体中，A₁B₁ 平行于 AB，A₁D₁ 平行于 AD，且 A₁B₁ 与 A₁D₁ 交于点 A₁，AB 与 AD 都在平面 ABCD 内。由平面与平面平行的判定定理得平面 A₁B₁C₁D₁ 平行于平面 ABCD。

解析用面面垂直的判定定理：找一个平面经过另一个平面的垂线。侧棱 AA₁ 垂直于底面，经过 AA₁ 的侧面 ABB₁A₁ 就垂直于底面。

参考答案平面 ABB₁A₁ 垂直于底面 ABCD。理由：直线 AA₁ 垂直于底面 ABCD，而平面 ABB₁A₁ 经过直线 AA₁，由平面与平面垂直的判定定理得平面 ABB₁A₁ 垂直于平面 ABCD。（答案不唯一，四个侧面都可以）

解析找二面角平面角三步：定棱（AB），在棱上取一点（A），在两个半平面内各作棱的垂线（AD 和 AD₁），两垂线的夹角就是平面角。这里 AD=D₁D，所以是 45°。

参考答案二面角 D₁-AB-D 的棱是 AB。在棱上取点 A：在底面内 AD 垂直于 AB；在平面 D₁AB 内，AD₁ 也垂直于 AB（因为 AB 垂直于 AD 且垂直于 AA₁，所以 AB 垂直于平面 ADD₁A₁，从而 AB 垂直于平面内的直线 AD₁）。所以 ∠D₁AD 就是二面角 D₁-AB-D 的平面角。在等腰直角三角形 D₁AD 中，∠D₁AD=45°。

解析正方体有 6 个全等的正方形面；第(1)问用 S=6a²；第(2)问用 V=a³。

参考答案(1)S=6×3²=6×9=54。(2)V=3³=27。

解析第(1)问用 V=长×宽×高；第(2)问用 S=2(长×宽+长×高+宽×高)，三组对面别漏。

参考答案(1)V=2×3×4=24。(2)S=2×(2×3+2×4+3×4)=2×(6+8+12)=52。

解析第(1)问用侧面积公式 S=2πrh；第(2)问用体积公式 V=πr²h。

参考答案(1)S侧=2π×2×5=20π。(2)V=π×2²×5=20π。

解析第(1)问母线、高、底面半径构成直角三角形，用勾股定理；第(2)问用 V=(1/3)πr²h。

参考答案(1)母线长 ℓ=√(3²+4²)=√25=5。(2)V=(1/3)×π×3²×4=12π。

解析第(1)问用 S=4πr²；第(2)问用 V=(4/3)πr³。

参考答案(1)S=4π×2²=16π。(2)V=(4/3)π×2³=32π/3。

解析三个视图都是正方形，符合正方体的三视图特征；第(2)问用 V=a³。

参考答案(1)主视图、左视图、俯视图都是边长为 2 的正方形，符合“长对正、高平齐、宽相等”，该几何体是棱长为 2 的正方体。(2)V=2³=8。

解析第(1)问找与 AB 同方向的棱，共 4 条含自身；第(2)问找竖直方向的 4 条侧棱。

参考答案(1)与 AB 平行的棱有 A₁B₁，CD，C₁D₁（加上 AB 自身共 4 条）。(2)与底面 ABCD 垂直的棱是 4 条侧棱：AA₁，BB₁，CC₁，DD₁。

解析第(1)问由 V=πr²h 反解 r；第(2)问用 S=2πrh+2πr²，侧面积和两个底面积都要算。

参考答案(1)由 πr²×4=36π 得 r²=9，r>0，所以 r=3。(2)S=2π×3×4+2π×3²=24π+18π=42π。

解析正四棱锥的底面是正方形；第(1)问底面积=边长²；第(2)问用 V=(1/3)×底面积×高。

参考答案(1)底面积=4²=16。(2)V=(1/3)×16×6=32。

解析主视图是矩形、俯视图是圆形，符合圆柱的三视图特征；第(2)问用 V=πr²h。

参考答案(1)主视图是矩形、俯视图是圆形，该几何体是圆柱。(2)V=π×2²×5=20π。

解析正方体体积 V=a³=4³=64。

解析长方体体积 V=长×宽×高=5×2×3=30。

解析圆柱体积 V=πr²h=π×3²×4=36π。

解析圆锥体积 V=(1/3)πr²h=(1/3)×π×2²×6=8π。

解析球体积 V=(4/3)πr³=(4/3)×π×3³=36π。

解析正方体表面积 S=6a²=6×5²=150。

解析圆柱侧面积 S=2πrh=2π×2×6=24π。

解析正四棱锥体积 V=(1/3)×底面积×高=(1/3)×6²×4=48。

解析二面角的定义：从一条直线（棱）出发的两个半平面所组成的图形。A错在“两个平面”，应为“两个半平面”；B错，平面角的范围是[0°,180°]；D错，顶点可在棱上任意一点。

解析记号 A-BC-D 表示：棱为 BC，两个面分别为平面 ABC 与平面 DBC。故 BC 是二面角的棱。

解析平面角的定义：在棱 l 上取一点 O，在两个半平面内分别作棱的垂线 OA、OB，则∠AOB 叫二面角的平面角。B缺少“垂直于棱”的条件；C错，范围是[0°,180°]；D错，∠AOB 本身就确定一个平面。

解析棱为 AB。在点 A 处：底面内 AD⊥AB；面 D₁AB 内，AB⊥平面 ADD₁A，故 AB⊥AD₁。由平面角定义，∠DAD₁ 为所求平面角。DD₁⊥底面，△ADD₁ 为等腰直角三角形，∴∠DAD₁=45°。

解析取 BC 中点 E，连 SE、OE。△SBC 中 SB=SC，E 为中点，故 SE⊥BC；OE∥AB，故 OE⊥BC。∴∠SEO 为二面角 S-BC-A 的平面角。SO⊥底面得 SO⊥OE，SO=1，OE=1，tan∠SEO=1，∴∠SEO=45°。

解析D错误：二面角的取值范围是[0°,180°]；[0°,90°]是直线与平面所成角（线面角）的范围，不要混淆。A、B、C 均正确。

解析二面角的取值范围是[0°,180°]。两个平面重合时夹角最小，为 0°；两个平面垂直时为 90°。

解析侧面 ABB₁A₁ 与底面 ABCD 互相垂直（AA₁⊥底面），所成二面角为 90°。

解析取 BC 中点作平面角：先在等腰△SBC 中作 SE⊥BC，再连 OE 证 OE⊥BC，得平面角∠SEO；然后在 Rt△SOE 中由 tan 求角。

参考答案作：取 BC 的中点 E，连接 SE、OE。 证：正四棱锥中 SB=SC，△SBC 为等腰三角形，E 为 BC 中点，∴SE⊥BC。O 为正方形中心，E 为 BC 中点，∴OE∥AB；AB⊥BC，∴OE⊥BC。由二面角平面角的定义，∠SEO 为二面角 S-BC-A 的平面角。 求：SO⊥底面 ABCD，OE⊂底面，∴SO⊥OE，△SOE 为直角三角形。OE=AB/2=1，SO=√3，tan∠SEO=SO/OE=√3，∴∠SEO=60°。 答：二面角 S-BC-A 的大小为 60°。

解析BC 同时垂直 PA（线面垂直）与 AB（等腰直角），故 BC⊥平面 PAB，得 BC⊥PB，∠PBA 即为平面角；在 Rt△PAB 中求得 45°。

参考答案证：∵PA⊥底面 ABC，BC⊂底面，∴PA⊥BC。又∠ABC=90°，∴AB⊥BC。PA∩AB=A，∴BC⊥平面 PAB。∵PB⊂平面 PAB，∴BC⊥PB。棱为 BC，AB⊥BC，PB⊥BC，故∠PBA 是二面角 P-BC-A 的平面角。 求：PA⊥底面，∴PA⊥AB，△PAB 为直角三角形。PA=1，AB=1，tan∠PBA=PA/AB=1，∴∠PBA=45°。 答：二面角 P-BC-A 的大小为 45°。