📊 随机变量及其分布

解析随机变量的取值事先不能确定。掷骰子出现几点要掷了才知道，是随机变量；后三项都是固定不变的常数，不是随机变量。

解析射击一次命中几环事先无法确定，是随机变量；其余三项的结果都是确定的常数。

解析离散型随机变量的取值可以一一列出。投篮 3 次的命中次数只能取 0、1、2、3，是离散型；降雨量、身高、用时都是连续变化的量，是连续型。

解析灯泡的使用寿命可以在一个区间内取任意值，不能一一列出，是连续型；其余三项的取值都可以一一列出，是离散型。

解析分布列中所有概率之和为 1，所以 a=1−1/3−1/6=1/2。

解析所有概率之和为 1，所以 a=1−0.2−0.5=0.3。

解析骰子有 6 个面，每个面出现的概率相等，出现 5 点是 6 种等可能结果中的 1 种，所以 P(X=5)=1/6。

解析一共 5 个球，红球 3 个，取到红球的概率是 3/5，所以 P(X=1)=3/5。注意 D 选项 3/2 大于 1，不可能是概率。

解析P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=1/4+1/2=3/4。注意不是只取 P(X=2)=1/2。

解析P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=0.5+0.3=0.8，也可以直接用 1−P(X=0)=1−0.2=0.8。

解析E(X)=1×1/2+2×1/3+3×1/6=1/2+2/3+1/2=5/3。注意是"取值×概率"再相加，不是把概率直接相加。

解析E(X)=0×0.1+1×0.6+2×0.3=0+0.6+0.6=1.2。

解析先算 E(X)=0×1/2+1×1/2=1/2，再算 E(X²)=0×1/2+1×1/2=1/2，所以 D(X)=E(X²)−[E(X)]²=1/2−1/4=1/4。

解析E(X)=(1+2+3)/3=2，E(X²)=(1+4+9)/3=14/3，D(X)=14/3−2²=14/3−4=2/3。

解析两点分布的期望就是 P(X=1) 的值：E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7。

解析两点分布的方差为 p(1−p)=0.4×0.6=0.24。注意不能直接取 0.4，也不能算成 0.4²=0.16。

解析E(2X+1)=2E(X)+1=2×3+1=7。

解析E(−X+4)=−E(X)+4=−5+4=−1，注意负号要带上。

解析D(3X−1)=3²×D(X)=9×2=18。注意方差里 X 前面的系数要平方，常数 −1 不影响方差。

解析D(−2X+5)=(−2)²×D(X)=4×4=16。方差一定是非负数，带负号的选项可以直接排除。

解析先算 E(X)=1×0.4+2×0.6=1.6，再用性质 E(3X)=3E(X)=3×1.6=4.8。

解析给 X 加上常数 5，只改变取值的位置，不改变取值的离散程度，所以 D(X+5)=D(X)=3。

解析期望相同的情况下，方差越小，成绩波动越小，发挥越稳定。乙的方差更小，所以乙更稳定。

解析期望相同看方差，方差小意味着收益波动小、风险小。乙的方差更小，风险更小，应选乙。

解析E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5。注意期望不一定是取得到的点数。

解析E(X)=100×1/1000+0×999/1000=0.1 元，平均下来每张彩票的奖金只有 1 角钱。

解析总取法有 C(5,2)=10 种，取 1 红 1 白有 2×3=6 种，所以 P(X=1)=6/10=3/5。

解析所有概率之和为 1，所以 a=1−1/10−3/10=6/10=3/5。

解析D(X)=E(X²)−[E(X)]²=5−2²=5−4=1。注意是减去期望的平方，不是减去期望本身。

解析分布列的两个基本性质：每个 P(X=xᵢ)≥0，且所有概率相加等于 1。

解析E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。

解析概率之和为 1，a=1−0.2−0.5=0.3。

解析P(X≤2)=P(X=1)+P(X=2)=1/3+1/6=1/2。

解析两点分布的期望就是 P(X=1)=0.8。

解析D(X)=p(1−p)=0.6×0.4=0.24。

解析E(2X−3)=2E(X)−3=2×4−3=5。

解析D(2X+1)=2²×D(X)=4×3=12，系数 2 要平方。

解析E(X)=2×0.3+4×0.5+6×0.2=0.6+2+1.2=3.8。

解析E(X)=0×0.5+2×0.5=1，E(X²)=0×0.5+4×0.5=2，D(X)=2−1²=1。

解析E(X)=10×0.3+9×0.4+8×0.3=3+3.6+2.4=9。

解析由 D(X)=E(X²)−[E(X)]² 得 E(X²)=D(X)+[E(X)]²=2+9=11。

解析P(X=1)=4/10=0.4，E(X)=1×0.4+0×0.6=0.4。

解析两枚硬币共有 4 种等可能结果：正正、正反、反正、反反，所以 P(X=0)=1/4，P(X=1)=2/4=1/2，P(X=2)=1/4。E(X)=0×1/4+1×1/2+2×1/4=1。

参考答案分布列：P(X=0)=1/4，P(X=1)=1/2，P(X=2)=1/4；E(X)=1

解析E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2。E(X²)=(1+4+9+16+25+36)/6=91/6。D(X)=E(X²)−[E(X)]²=91/6−49/4=35/12。

参考答案E(X)=3.5，D(X)=35/12

解析总取法 C(8,2)=28 种。P(X=0)=C(3,2)/28=3/28，P(X=1)=(5×3)/28=15/28，P(X=2)=C(5,2)/28=10/28=5/14。E(X)=0+15/28+2×10/28=35/28=5/4。E(X²)=15/28+4×10/28=55/28。D(X)=55/28−(5/4)²=55/28−25/16=45/112。

参考答案分布列：P(X=0)=3/28，P(X=1)=15/28，P(X=2)=5/14；E(X)=5/4，D(X)=45/112

解析E(2X+1)=2E(X)+1=2×3+1=7。D(3X−2)=3²×D(X)=9×2=18，注意方差里 X 前面的系数 3 要平方，常数 −2 不影响方差。

参考答案E(2X+1)=7，D(3X−2)=18

解析E(X)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=1.6+4.5+3=9.1。E(Y)=8×0.3+9×0.4+10×0.3=2.4+3.6+3=9。E(X²)=64×0.2+81×0.5+100×0.3=12.8+40.5+30=83.3，D(X)=83.3−9.1²=83.3−82.81=0.49。E(Y²)=64×0.3+81×0.4+100×0.3=19.2+32.4+30=81.6，D(Y)=81.6−9²=0.6。甲的期望更高、方差更小，说明甲平均成绩更好且发挥更稳定，所以甲更优秀。

参考答案E(X)=9.1，E(Y)=9，D(X)=0.49，D(Y)=0.6；甲的平均成绩更高且更稳定，甲更优秀

解析X 服从两点分布，P(X=1)=0.9。E(X)=1×0.9+0×0.1=0.9。D(X)=p(1−p)=0.9×0.1=0.09。

参考答案E(X)=0.9，D(X)=0.09

解析E(X)=1000×1/50000+0×49999/50000=1000/50000=0.02 元，也就是 2 分钱。期望是长期平均值：买得越多，平均每张彩票的奖金越接近 2 分钱，而票价是 2 元，所以买彩票是一种负期望的消费。

参考答案E(X)=0.02 元；平均下来每张彩票只能带来 2 分钱的奖金，远低于 2 元的票价，说明买彩票长期来看是亏的

解析E(X)=(−1+0+1)/3=0。E(X²)=(1+0+1)/3=2/3，D(X)=2/3−0=2/3。E(2X−1)=2E(X)−1=−1。D(2X−1)=2²×D(X)=4×2/3=8/3。

参考答案E(X)=0，D(X)=2/3，E(2X−1)=−1，D(2X−1)=8/3

解析独立重复试验要同时满足四个条件：每次试验条件相同、每次只有两种对立的结果、各次试验相互独立、重复次数 n 事先确定。C 选项每次抛硬币条件相同、只有正反两种结果、各次独立、共抛 4 次，完全符合；A 选项不放回摸球，每次摸到球的概率会变化；B、D 的试验次数事先不固定（要看什么时候出现 6 点、什么时候命中 10 环）。

解析X～Bₙ,ₚ 中，n 是独立重复试验的总次数（这里是 4 次），p 是每次试验中我们关心的事件发生的概率（这里是 1/2）。A 把 n 理解成了"发生的次数"，C 把 p 理解成了失败的概率，都是常见误解。

解析用公式 P(X=k)=C(n,k)×pᵏ×(1-p)ⁿ⁻ᵏ，代入 n=3、k=2、p=1/2：P(X=2)=C(3,2)×(1/2)²×(1/2)=3×1/4×1/2=3/8。A 选项 1/8 是漏乘了组合数 C(3,2)=3；D 选项 3/4 是漏掉了 (1-p)ⁿ⁻ᵏ 这一项。

解析P(X=1)=C(4,1)×(1/3)×(2/3)³=4×(1/3)×(8/27)=32/81。注意 (2/3)³=8/27，不要算成 2/3；B 选项 8/81 是漏乘了 C(4,1)=4；C 选项 8/9 是把指数漏掉了。

解析每次抛硬币是独立重复试验，X～B(5,1/2)。P(X=3)=C(5,3)×(1/2)⁵=10×1/32=5/16。注意 C(5,3)=10 不是 5，C 选项就是把组合数算错了；A 选项 1/32 是漏掉了组合数。

解析3 次全部命中：P(X=3)=C(3,3)×0.6³×0.4⁰=0.216。B 选项 0.064 是把 p 和 1-p 搞混了（算的是 0.4³）；C 选项 1.8 是用 0.6×3 得到的，概率不可能大于 1，一看就是错的。

解析4 件全合格就是每次都合格：P(X=4)=C(4,4)×(3/4)⁴=(3/4)⁴=81/256。A 选项 1/256 是把合格率 3/4 误记成了 1/4；D 选项把分子分母写反了。

解析二项分布的期望公式是 E(X)=np=10×0.4=4。B 选项 2.4 是用方差公式 np(1-p) 算出来的，期望和方差的公式不要颠倒；A 选项是用 1-p=0.6 去乘的，也是错的。

解析二项分布的方差公式是 D(X)=np(1-p)=10×0.4×0.6=2.4。A 选项 4 是用期望公式算的；C 选项 0.24 是小数点点错了位。记住：方差要多乘一个 (1-p)。

解析X～B(6,1/2)，E(X)=np=6×1/2=3，平均能命中 3 次。A 选项 1.5 是误用方差公式 6×1/2×1/2 算出来的；D 选项是把投篮次数直接当成了期望。

解析X～B(5,0.6)，D(X)=np(1-p)=5×0.6×0.4=1.2。B 选项 3 是期望 E(X) 的值；求方差时别忘了乘上 (1-p)=0.4。

解析“至少发生 1 次”的反面是“1 次都不发生”，用对立事件最省事：P(X≥1)=1-P(X=0)=1-C(4,0)×(1/2)⁴=1-1/16=15/16。B 选项 1/16 是 P(X=0)，正好是反面事件的概率。

解析P(X=0)=C(2,0)×(1/3)⁰×(2/3)²=4/9。“一次都不发生”用的是 (1-p)²=(2/3)²，不是 p²；A 选项 1/9 就是误用了 (1/3)²。D 选项 5/9 是 P(X≥1)=1-4/9。

解析二项分布要求：n 次独立重复试验、每次只有两种对立结果、每次概率不变。A 满足：5 次独立射击，每次命中率都是 0.8；B、D 是不放回抽取，每次的概率会变化；C 的试验次数事先不固定。

解析P(X=5)=C(5,5)×(1/2)⁵=1×1/32=1/32。注意 C(5,5)=1 不是 5，A 选项就是把组合数算错了；5 次全发生的概率就是 p⁵。

解析每题独立猜测，X～B(5,1/2)，E(X)=np=5×1/2=5/2，平均能猜对 2.5 道。A 选项 5/4 是把 p 误记成 1/4 了；D 选项是把题目总数当成了期望。

解析X～B(8,3/4)，D(X)=np(1-p)=8×(3/4)×(1/4)=3/2。A 选项 6 是期望 E(X) 的值，期望和方差公式别搞反；B 选项是用 1-p=1/4 去乘 n 的结果。

解析P(X=2)=C(4,2)×(1/4)²×(3/4)²=6×(1/16)×(9/16)=27/128。注意 C(4,2)=6（D 选项是误算成 3），(1/4)² 和 (3/4)² 的指数都不要漏（B 选项就是漏了 (3/4) 的平方）。

解析正态分布记作 X～N(μ,σ²)：μ 是均值，决定正态曲线中心的位置；σ 是标准差（σ² 才是方差），决定数据的离散程度和曲线的胖瘦。A 选项把两者颠倒了，D 选项是和二项分布的 n、p 搞混了。

解析正态曲线是单峰的，关于直线 x=μ 对称，在 x=μ 处取得最大值。B 选项把对称轴误记成了 x=0——只有当 μ=0 时对称轴才是 x=0；C、D 描述的都不是正态曲线的形状。

解析σ 是标准差，反映数据的离散程度。σ 越小，数据越集中在均值 μ 附近，曲线就越“瘦高”；σ 越大，数据越分散，曲线越“矮胖”。记住：μ 决定位置，σ 决定胖瘦。

解析3σ 原则：P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973。区间越宽、概率越大，μ±σ 是最窄的区间，对应最小的 0.6827；D 选项 0.5 是 P(X<μ) 的值。

解析3σ 原则中，μ±2σ 区间对应的概率约为 0.9545。记住口诀：σ 对 0.6827，2σ 对 0.9545，3σ 对 0.9973，数字越大、区间越宽、概率越大。

解析正态曲线关于 x=μ=10 对称。8=10-2，12=10+2，两点关于 10 对称，所以直线 x=8 左侧与 x=12 右侧的面积相等：P(X>12)=P(X<8)=0.16。A 选项 0.84 是 P(X>8)，不是 P(X>12)。

解析165=170-5，175=170+5，两点关于均值 170 对称，所以 P(X<165)=P(X>175)=0.16。中间部分的概率 = 总概率 1 减去两边的：1-0.16-0.16=0.68。

解析由对称性可知 P(X>μ)=0.5。直线 x=μ+σ 把右半部分分成两块：已知其中一块 P(μ<X<μ+σ)=0.3413，那么更靠右的一块 P(X>μ+σ)=0.5-0.3413=0.1587。

解析μ=170，σ=5，区间 165～175 正好是 μ-σ 到 μ+σ。根据 3σ 原则，P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827。A、C 分别是 μ±2σ、μ±3σ 区间的概率，区间对错了。

解析60=70-10，80=70+10，两点关于均值 70 对称，所以 P(X>80)=P(X<60)=0.1587。A 选项 0.8413 是 1-0.1587，也就是 P(X>60)；C 选项 0.6826 是中间区间 P(60<X<80) 的值。

解析许多自然和社会现象（如身高、体重、考试成绩、零件尺寸）都近似服从正态分布。A 是二项分布；C、D 中每个结果出现的概率都相等，属于均匀分布，不是正态分布。

解析μ=100，σ=10，区间 70～130 是 μ-3σ 到 μ+3σ。根据 3σ 原则，P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973。先算出 70 和 130 分别是 μ 的几倍 σ，再对号入座，D 选项 0.99 只是粗略估计。

解析P(X=1)=C(3,1)×(1/2)×(1/2)²=3×1/2×1/4=3/8，别忘了乘组合数 C(3,1)=3。

解析二项分布的期望公式 E(X)=np=6×1/3=2。

解析二项分布的方差公式 D(X)=np(1-p)=8×1/2×1/2=2，注意要乘 (1-p)。

解析4 次全中就是每次都中：P(X=4)=C(4,4)×(1/4)⁴=(1/4)⁴=1/256。

解析每次抛硬币是独立重复试验，X～B(6,1/2)，E(X)=np=6×1/2=3。

解析P(X=0)=C(4,0)×0.6⁰×0.4⁴=0.4⁴=0.0256。“一次都不发生”用的是 (1-p)⁴=0.4⁴，不是 0.6⁴。

解析E(X)=np=n×1/2=3，解得 n=6。反过来用期望公式求试验次数。

解析E(X)=np=10p=4，解得 p=0.4。同样是反过来用期望公式求参数。

解析正态曲线关于直线 x=μ 对称，这里 μ=80，所以对称轴是 x=80，不是 x=0。

解析3σ 原则：μ±3σ 区间内的概率约为 0.9973，几乎包含了全部数据，区间越宽概率越大。

解析55=60-5，65=60+5，两点关于均值 60 对称，所以 P(X>65)=P(X<55)=0.16。

解析μ=1000，σ=50，区间 950～1050 正好是 μ-σ 到 μ+σ，根据 3σ 原则概率约为 0.6827。

解析σ 越小曲线越“瘦高”。X 的 σ=1；Y～N(3,4²) 中 σ²=4，所以 σ=2（注意不是 4）。因此 X 的曲线更瘦高。

解析(1) 每次射击是独立重复试验，X～B(4,3/4)。P(X=3)=C(4,3)×(3/4)³×(1/4)=4×27/64×1/4=27/64。(2) E(X)=np=4×3/4=3；D(X)=np(1-p)=4×3/4×1/4=3/4。

参考答案(1) 27/64；(2) E(X)=3，D(X)=3/4。

解析(1) 5 次全中就是每次都中：0.6⁵=0.07776。(2) “至少命中 1 次”的反面是“1 次都不中”，其概率为 0.4⁵=0.01024，所以所求概率为 1-0.01024=0.98976。用对立事件可以少算很多。

参考答案(1) 0.07776；(2) 0.98976。

解析(1) X～B(3,0.9)，P(X=2)=C(3,2)×0.9²×0.1=3×0.81×0.1=0.243。(2) E(X)=np=3×0.9=2.7，平均有 2.7 件合格。

参考答案(1) 0.243；(2) 2.7。

解析(1) 每次抛硬币是独立重复试验，正面向上的概率都是 1/2，所以 X～B(4,1/2)。(2) P(X=2)=C(4,2)×(1/2)⁴=6×1/16=3/8。(3) E(X)=np=4×1/2=2；D(X)=np(1-p)=4×1/2×1/2=1。

参考答案(1) X~B(4,1/2)；(2) 3/8；(3) E(X)=2，D(X)=1。

解析(1) μ=168，σ=4，区间 164～172 是 μ-σ 到 μ+σ，根据 3σ 原则，概率约为 0.6827。(2) 164=168-4，172=168+4，两点关于均值 168 对称，所以 P(X>172)=P(X<164)=0.16。

参考答案(1) 约 0.6827；(2) 0.16。

解析(1) 65=75-10，85=75+10，是 μ±σ 区间，概率约 0.6827。(2) 55～95 是 μ±2σ 区间，概率约 0.9545。(3) 65 与 85 关于均值 75 对称，P(X>85)=P(X<65)=0.16。

参考答案(1) 约 0.6827；(2) 约 0.9545；(3) 0.16。

解析(1) X～N(μ,σ²) 中 μ 是均值、σ 是标准差。(2) 49.5=50-0.5，50.5=50+0.5，是 μ±σ 区间，概率约 0.6827。(3) 由对称性 P(X>50.5)=P(X<49.5)=0.1587，所以 P(X<50.5)=1-0.1587=0.8413；又 P(X<50)=0.5，故 P(50<X<50.5)=0.8413-0.5=0.3413。

参考答案(1) μ=50，表示零件的平均长度为 50mm；σ=0.5，表示长度的标准差为 0.5mm，反映数据的离散程度。(2) 约 0.6827。(3) 0.3413。