➡️ 平面向量

解析向量是既有大小又有方向的量。位移既有大小(走了多远)又有方向,是向量;质量、温度、面积只有大小没有方向,是标量。

解析零向量的模为0,它的方向是任意的。零向量可以用有向线段表示(起点终点重合),而且零向量与零向量是相等的,所以“与任何向量都不相等”不对。

解析这就是相反向量的定义:模相等、方向相反,记作-a̅。选2a̅的同学注意,2a̅的模是a̅模的2倍。

解析相等向量的定义就是模相等且方向相同,两个条件缺一不可。只模相等,方向可能不同;只方向相同,模可能不同。

解析a̅=-b̅说明a̅与b̅模相等、方向相反,这正是相反向量的定义。

解析有向线段有方向,箭头所指的一端是终点,另一端A是起点。别把起点终点弄反了。

解析向量加两条竖线表示它的模,也就是向量的大小(长度),在数值上等于线段AB的长度。

解析模相等且方向相同,正好符合相等向量的定义,所以a̅=b̅。注意“共线”范围更大,相等一定共线,但这里条件足够下相等结论。

解析①对,零向量方向任意;②对,单位向量定义就是模为1;③错,模相等方向可能不同;④错,平行只要求方向相同或相反,模可能不同。所以真命题有2个。

解析AB̅=DC̅说明AB与DC平行且长度相等,一组对边平行且相等,四边形就是平行四边形。矩形、菱形还需要额外条件。

解析三角形法则:首尾相连,从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。AB̅的终点B正好是BC̅的起点,连起来就是AC̅。

解析平行四边形法则:以AB、AD为邻边作平行四边形,和向量就是从公共起点A出发的对角线AC̅。选BD̅的是把加法和减法搞混了。

解析依次用三角形法则:AB̅+BC̅=AC̅,再加CD̅得AD̅,再加DA̅,起点A终点A,回到原点,结果是零向量。

解析减去一个向量等于加上它的相反向量,这是向量减法的定义。选B的同学注意,减法不满足交换律。

解析方向相同时,和向量的模等于两模相加:3+4=7。选5的是想到了勾股定理,但那是两向量垂直的情况;选1的是按减法算的。

解析OA̅-OB̅=OA̅+BO̅=BA̅。记住口诀:共起点的两向量相减,结果指向被减向量。这里被减的是OA̅,所以指向A,是BA̅。选AB̅的是方向搞反了。

解析一个向量加上它的相反向量等于零向量。A得2a̅,B得2a̅,C得a̅,只有D是a̅-a̅=0̅。

解析数乘分配律:括号外的3要乘到括号里的每一项,3(a̅-b̅)=3a̅-3b̅。选A的是只乘了第一项,这是最常见的错误。

解析|-3a̅|=|-3|×|a̅|=3×2=6。模一定是非负数,所以-6不可能;系数-3要取绝对值变成3,不是取倒数。

解析横坐标加横坐标,纵坐标加纵坐标:(2+(-1),3+4)=(1,7)。选B的是把加法做成了减法。

解析对应坐标相减:(5-1,-2-3)=(4,-5)。注意纵坐标是-2-3=-5,不是-2+3;选D的是把被减数减数弄反了。

解析数乘向量,3乘到每个坐标上:(3×(-2),3×1)=(-6,3)。选C的是只乘了纵坐标。

解析模的坐标公式:|a̅|=√(3²+4²)=√25=5。选25的是忘了开方,选7的是把平方和直接相加了。

解析终点坐标减起点坐标:(4-1,6-2)=(3,4)。选C的是起点终点搞反了,算成了BA̅。

解析中点坐标公式:横坐标取平均,纵坐标取平均:((-2+4)/2,(1+5)/2)=(1,3)。

解析两点间距离公式:√((6-0)²+(8-0)²)=√100=10。选14的是直接把6+8了,选48的是算成了6×8。

解析由模的公式得√(x²+9)=5,两边平方得x²+9=25,x²=16,所以x=4或x=-4。只选4的同学漏了负值。

解析2a̅=(4,2)=b̅,所以b̅=2a̅,两向量共线且同向。选A的是看到坐标成比例就误以为相等,相等要求坐标完全相同。

解析先去括号:2a̅+2b̅-a̅+b̅,合并同类项得a̅+3b̅。注意减括号时括号里每一项都要变号。

解析共线说明b̅=λa̅。由横坐标2=λ×1得λ=2,所以m=2×2=4。选D的是直接把m和λ搞混了。

解析零向量就是长度为0的向量,它的起点和终点重合,方向任意。

解析三角形法则:首尾相连的两个向量相加,结果从第一个向量的起点指向第二个向量的终点。

解析2a̅=(4,-6),再加b̅:(4+1,-6+5)=(5,-1)。先数乘再加减,别直接把2加到坐标上。

解析|a̅|=√(6²+8²)=√100=10。记住3-4-5的2倍就是6-8-10,这类题可以直接看出答案。

解析终点坐标减起点坐标:(-1-2,4-1)=(-3,3)。

解析横纵坐标分别取平均:((-1+5)/2,(3+(-1))/2)=(2,1)。

解析这就是相反向量的定义,记作-a̅。

解析|5a̅|=|5|×|a̅|=5×4=20。数乘的系数取绝对值后再乘模。

解析与a̅共线的向量都可以写成λa̅的形式。取λ=1/3得(1,2)。答案不唯一,(6,12)、(-3,-6)等都可以。

解析去括号:-2a̅+2b̅+3a̅,合并同类项得a̅+2b̅。

解析AB̅=(4-1,5-1)=(3,4),|AB̅|=√(9+16)=5。

解析先求|a̅|=5,再用a̅除以它的模:(3/5,4/5)。同向单位向量公式就是e̅=a̅/|a̅|。

解析AB̅+BC̅=AC̅,再加CA̅,AC̅+CA̅=0̅。绕三角形一圈回到起点,和为零向量。

解析第(1)问先算数乘再相加;第(2)问先求差向量的坐标,再用模的公式。注意b̅的纵坐标是-1,相减时2-(-1)=3,符号别错。

参考答案(1)2b̅=(6,-2),a̅+2b̅=(1+6,2-2)=(7,0)。(2)a̅-b̅=(1-3,2+1)=(-2,3),|a̅-b̅|=√((-2)²+3²)=√13。

解析向量坐标用终点减起点;模用坐标公式,√52要化简成2√13;中点坐标横纵分别取平均。

参考答案(1)AB̅=(4-(-2),-1-3)=(6,-4)。(2)|AB̅|=√(36+16)=√52=2√13。(3)中点坐标为((-2+4)/2,(3-1)/2)=(1,1)。

解析用数乘分配律去括号,注意-3乘到括号里每一项都要变号,再合并同类项。

参考答案原式=4a̅-8b̅-6a̅-3b̅=(4a̅-6a̅)+(-8b̅-3b̅)=-2a̅-11b̅。

解析把c̅提取公因数2,发现它正好是d̅的2倍。根据共线定理,一个向量是另一个向量的数乘倍,两向量就共线。

参考答案共线。因为c̅=2a̅+4b̅=2(a̅+2b̅)=2d̅,由向量共线定理知c̅与d̅共线。

解析与a̅同向的单位向量公式是e̅=a̅/|a̅|,先求模10,再把坐标分别除以10,最后约分。

参考答案|a̅|=√(36+64)=10,e̅=a̅/|a̅|=(6/10,8/10)=(3/5,4/5)。

解析把AD̅拆成AB̅+BD̅,D是中点所以BD̅是BC̅的一半,而BC̅=AC̅-AB̅,代入合并就得到中线向量公式。这是向量加减法的综合应用,建议画图理解。

参考答案AD̅=AB̅+BD̅=AB̅+(1/2)BC̅=AB̅+(1/2)(AC̅-AB̅)=(1/2)(AB̅+AC̅)。

解析P把AB分成2:1,向量AP̅就是PB̅的2倍。把向量关系转化成坐标方程,横纵坐标分别列方程求解。也可以直接用公式P=((2+2×8)/3,(3+2×6)/3)=(6,5)。

参考答案设P(x,y),则AP̅=(x-2,y-3),PB̅=(8-x,6-y)。由AP=2PB得AP̅=2PB̅,即x-2=2(8-x),y-3=2(6-y),解得x=6,y=5,所以P(6,5)。

解析数量积定义 a̅·b̅=|a̅||b̅|cosθ=3×4×cos60°=12×1/2=6。选 12 是忘了乘 cosθ；选 -6 是把 60° 当成了 120°。

解析a̅·b̅=2×5×cos120°=10×(-1/2)=-5。钝角的余弦是负的，所以结果带负号，别粗心写成 5。

解析投影=|a̅|cosθ=4×cos60°=4×1/2=2。注意投影不是 |a̅| 本身，而是乘了 cosθ 之后的"影子长度"。

解析由 a̅·b̅=|b̅|×(投影) 得：投影=a̅·b̅/|b̅|=-6/3=-2。数量积为负，投影也带负号，符号别丢。

解析坐标公式：2×(-1)+3×4=-2+12=10。注意第一项 2×(-1)=-2 是负数；选 11 的是误用了平行条件的交叉相乘。

解析|a̅|=√(3²+(-4)²)=√25=5。模长要开平方，别直接写 3+4=7，更别把平方和 25 当成答案。

解析这是向量版的平方差公式：(a̅+b̅)·(a̅-b̅)=|a̅|²-|b̅|²=9-4=5。注意是相减不是相加。

解析|a̅+b̅|²=|a̅|²+2a̅·b̅+|b̅|²=1+2×(-1)+4=3，所以 |a̅+b̅|=√3。注意 2a̅·b̅ 这一项的符号是负的；最后别忘了开平方。

解析a̅·b̅=1×1+1×(-1)=0，数量积为零说明两向量垂直，夹角为 90°。

解析cosθ=(a̅·b̅)/(|a̅||b̅|)=1/(1×2)=1/2，所以 θ=60°。记住 cosθ=1/2 对应的是 60°，不是 30°。

解析a̅·b̅=1×(-3)+2×1=-1<0，且两向量不成反向的倍数关系，所以夹角为钝角。数量积为负对应钝角（或 180°），别看错符号。

解析平行条件 x₁y₂−x₂y₁=2×6-4×3=0 成立，所以平行。其实 b̅=1.5a̅，是同向的。

解析平行条件：1×6-k×2=0，解得 k=3。用垂直条件 x₁x₂+y₁y₂=0 算出的是 -1/3，那是背混了公式。

解析a̅·b̅=3×(-2)+1×6=-6+6=0，数量积为零，所以两向量垂直。

解析垂直条件：2k+(-1)×4=0，即 2k-4=0，k=2。误用平行条件会算出 k=-8，注意区分。

解析零向量的方向是任意的，规定它与任意向量都平行，也与任意向量都垂直。这是常考的特殊情形，别漏了。

解析cosθ=(a̅·b̅)/(|a̅||b̅|)=(1/2)/1=1/2，所以 θ=60°。单位向量时分母就是 1，别再除一次。

解析数量积=|a̅|×投影=2×3=6。这是投影的几何意义反过来用：a̅·b̅ 等于 |b̅| 乘以 a̅ 在 b̅ 方向上的投影。

解析|a̅+b̅|²=1+2×(1×1×cos60°)+1=1+1+1=3，所以 |a̅+b̅|=√3。先平方展开再开方，这是求模的固定套路。

解析|a̅-b̅|²=9-2×(3×4×cos90°)+16=25，所以 |a̅-b̅|=5。夹角 90° 时数量积为零，其实就是勾股定理：3、4、5。

解析b̅=(-2)×a̅，倍数是负数，所以平行且反向。判断同向反向就看倍数 k 的正负：k>0 同向，k<0 反向。

解析先求坐标：A̅B̅=(3,4)，A̅C̅=(1,-1)，再用坐标公式：3×1+4×(-1)=3-4=-1。注意向量坐标是"终点减起点"。

解析a̅·b̅=4，|a̅|=|b̅|=√5，cosθ=4/(√5×√5)=4/5。公式是"数量积除以模的乘积"，分子分母别写反；cosθ 不可能大于 1，所以 5/4 直接排除。

解析数量积满足分配律：(2a̅+3b̅)·c̅=2(a̅·c̅)+3(b̅·c̅)=2×1+3×(-2)=2-6=-4。

解析a̅·a̅=|a̅|²=25。一个向量与自身的数量积就是它模的平方，这是求模公式的来源。

解析垂直条件：2m+m×8=0，即 10m=0，m=0。算出 ±4 的是误用了平行条件，两个公式别背混。

解析x 轴方向的单位向量是 (1,0)，投影=a̅·(1,0)=3。其实就是取横坐标，-4 是纵坐标，别拿错。

解析功 W=F̅·s̅=3×2+4×1=6+4=10(J)。功就是力与位移的数量积，直接套坐标公式。

解析和向量的模最大在两向量同向时取得：|a̅+b̅|≤|a̅|+|b̅|=5。选 1 的是把最大值和最小值搞混了。

解析cosθ=-8/(4×4)=-1/2，所以 θ=120°。数量积是负的，夹角一定是钝角，60° 是符号看错了。

解析坐标公式：1×3+2×(-1)=3-2=1，注意第二项的符号。

解析3×4×cos120°=12×(-1/2)=-6，钝角的余弦是负的。

解析垂直条件 x₁x₂+y₁y₂=0：2×3+5k=0，解得 k=-6/5。别误用平行条件。

解析平行条件 x₁y₂−x₂y₁=0：4t-(-1)×2=0，即 4t+2=0，t=-1/2。

解析cosθ=(a̅·b̅)/(|a̅||b̅|)=1/(1×2)=1/2，所以夹角为 60°。

解析|a̅|=√(3²+4²)=√25=5。

解析数乘向量的模等于数的绝对值乘以模：|2a̅|=2|a̅|=6。

解析1×m+√3×1=0，解得 m=-√3。

解析投影=|a̅|cosθ=6×(-1/2)=-3，钝角时投影是负数。

解析平方差公式：|a̅|²-|b̅|²=25-9=16。

解析|a̅+b̅|²=9+1+2×1=12，所以 |a̅+b̅|=√12=2√3。

解析(-2,6)=k(1,-3)，比较横坐标得 -2=k×1，即 k=-2；再验纵坐标 (-2)×(-3)=6，吻合。

解析先用定义算出数量积，再用"模的平方等于自身的数量积"展开求和向量的模，这是求模的通用套路。

参考答案(1) a̅·b̅=|a̅||b̅|cos60°=2×3×1/2=3。(2) |a̅+b̅|²=|a̅|²+2a̅·b̅+|b̅|²=4+2×3+9=19，所以 |a̅+b̅|=√19。

解析坐标公式直接算数量积；夹角用 cosθ=(a̅·b̅)/(|a̅||b̅|)；求向量组合的模先算出坐标再套模长公式。

参考答案(1) a̅·b̅=1×3+2×(-4)=3-8=-5。(2) |a̅|=√5，|b̅|=5，cosθ=-5/(5√5)=-√5/5。(3) 2a̅-b̅=(2-3,4+4)=(-1,8)，|2a̅-b̅|=√(1+64)=√65。

解析平行用交叉相乘相等 x₁y₂−x₂y₁=0，垂直用数量积为零 x₁x₂+y₁y₂=0，两个条件别背混。

参考答案(1) 平行：k×(-3)-2×1=0，即 -3k-2=0，k=-2/3。(2) 垂直：k×1+2×(-3)=0，即 k-6=0，k=6。

解析数量积满足分配律，先展开把 a̅·b̅ 当未知数解出来，再代入夹角公式。

参考答案(1) 展开得 |a̅|²+a̅·b̅-2|b̅|²=-24，即 16+a̅·b̅-50=-24，解得 a̅·b̅=10。(2) cosθ=10/(4×5)=1/2，所以 θ=60°。

解析要证直角三角形，就找两条边的向量数量积是否为零：为零则垂直，夹角就是 90°。

参考答案A̅B̅=(4,0)，B̅C̅=(0,3)，A̅B̅·B̅C̅=4×0+0×3=0，所以 A̅B̅⊥B̅C̅，即 ∠B=90°，△ABC 是直角三角形。

解析数量积里只有 cosθ 会变，cosθ 最大取 1，所以数量积最大为 |a̅||b̅|，此时两向量同向。

参考答案(1) a̅·b̅=|a̅||b̅|cosθ=2×1×cosθ=2cosθ，当 cosθ=1 时最大，最大值为 2。(2) 此时 θ=0°，即 a̅ 与 b̅ 同向。

解析垂直意味着数量积为零，展开模的平方时中间项直接消掉，两题答案都是 5。

参考答案因为 a̅⊥b̅，所以 a̅·b̅=0。|a̅+b̅|²=9+0+16=25，得 |a̅+b̅|=5；|a̅-b̅|²=9-0+16=25，得 |a̅-b̅|=5。

解析合力就是向量相加；功的本质是"力与位移的数量积"，先算位移向量再套坐标公式。

参考答案(1) 合力 F̅=F̅₁+F̅₂=(2+1,3-1)=(3,2)。(2) 位移 s̅=A̅B̅=(3,4)，功 W=F̅·s̅=3×3+2×4=9+8=17(J)。

解析第(1)问对应坐标相加；第(2)问用数量积的坐标公式 a̅·b̅=x₁x₂+y₁y₂，注意 b̅ 横坐标是 −1，符号别错。

参考答案(1)a̅+b̅=(2−1,3+4)=(1,7)。(2)a̅·b̅=2×(−1)+3×4=−2+12=10。

解析第(1)问用模的公式 |a̅|=√(x²+y²)；第(2)问同方向单位向量为 a̅/|a̅|。

参考答案(1)|a̅|=√(3²+4²)=√25=5。(2)与 a̅ 同方向的单位向量为 a̅/|a̅|=(3/5,4/5)。

解析平行条件用坐标式 x₁y₂−x₂y₁=0，代入解出 k。

参考答案(1)由 a̅∥b̅ 得 1×k−2×2=0，解得 k=4。(2)b̅=(2,4)。

解析第(1)问用 a̅·b̅=|a̅||b̅|cosθ；第(2)问先平方：|a̅+b̅|²=|a̅|²+|b̅|²+2a̅·b̅，再开方。

参考答案(1)a̅·b̅=3×4×cos60°=12×(1/2)=6。(2)|a̅+b̅|²=|a̅|²+|b̅|²+2a̅·b̅=9+16+2×6=37，所以 |a̅+b̅|=√37。

解析第(1)问用终点坐标减起点坐标；第(2)问用模的公式。

参考答案(1)AB̅=(4−1,6−2)=(3,4)。(2)|AB̅|=√(3²+4²)=5。

解析第(1)问先数乘再相减；第(2)问用 cosθ=(a̅·b̅)/(|a̅||b̅|)，分母化简到最简。

参考答案(1)2a̅−b̅=(4−1,−2−3)=(3,−5)。(2)a̅·b̅=2×1+(−1)×3=−1，|a̅|=√5，|b̅|=√10，所以 cosθ=−1/(√5×√10)=−1/√50=−√2/10。

解析∵ 点 P 是点 A，B 的中点，∴ ((-1+x)/2, (2+y)/2)=(3, 4)，即 x=7，y=6；∴ B(7, 6)。